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1、第123(部分)章 小结,交换两行（列）的位置； 用一非零数乘某一行（列）的所有元； 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去.,1.(初等变换)矩阵的行(列)初等变换：,2. 初等变换与初等矩阵乘法,定理 对矩阵A作一次行（列）初等变换，相当于在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵.,i 行,i 行,j 行,P29 4 . 设A是3阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第2列加到第3列得矩阵C,求矩阵Q使得AQ=C.,3.方程组求解与高斯消元法,自由未知量 .,例,解,例,证,注：类似题型（P40 12; 13 ),例4,4、矩阵可逆的充要条件及性质,(2) 性质 设A, B
2、均为n阶可逆矩阵，数0，则1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A;2. A可逆，且3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1 A-1;4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T.,例 求A的逆矩阵：,解,例 求A的逆矩阵：,解,A不可逆,例,解,例,解,求：,6. (行列式的初等变换):若把行初等变换施于n阶矩阵A上：,(1) 将A的某一行乘以数k得到A1，则detA1 = k(detA)；(2) 将A的某一行的k(0)倍加到另一行得到A2 ,则detA2 = detA； (3) 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA.,性质:(1) 设A为n阶矩阵，则,(2) 设
3、A, B为n阶方阵，则,(3) det(A-1)=,7. 矩阵秩的概念与性质,(1). R(A)=0 A=O；,(2). R(A) r A有一个r 阶子式不为零；,(3). R(A) r A的所有r +1阶子式全为零。,定义 矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A的秩，记为R(A) = r.,定理1 初等变换不改变矩阵的秩。,推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， (其中P, Q分别为可逆矩阵).,定理2,8、伴随矩阵的定理与公式,9、初等变换的作用,(1)内积 设向量,= (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3),= a1b1+ a2b2 + a3b3,称为 与 的内积（或数量积）.,10. 向量的乘法,（2)、外积,定义 向量 与 的外积 是一个向量，,所确定的平面垂直，且,符合右手系.,外积又称为向量积.,外积的几何意义,基向量的外积,利用坐标计算外积,定义,设,这是混合积的坐标表达式,(3)、混合积,称为这三个向量的混合积，记为,混合积的几何意义与性质：,
