现代设计与应用软件l4

《现代设计与应用软件l4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代设计与应用软件l4（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、现代设计与应用软件,第3章 曲线功能 3.1 简单曲线的制作绘制与编辑 3.2 复杂曲线的制作 3.3 曲线的操作 3.4 曲线基础理论 3.5 曲线编辑,3.4 曲线基础理论,曲线的显式、隐式和参数表示 曲线的几何量度 曲线的连续性 曲线的表示 Bezier曲线 B样条曲线 NURBS曲线 曲线的光顺性,3.4.1 曲线的显式、隐式和参数表示,隐式表示 f(x,y)=0; 显式表示函数表示 y=f(x) 参数表示 P(t)=x(t), y(t), z(t)在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式。,3.4.2 曲线的几何量度,切矢量 法矢量 主法矢量 副法矢量 曲率 挠率,切矢量,

2、切矢量单位切矢量,t,P(u),3. 法矢量 密切面：在曲线上P点邻域内取两点P1,P2；过三点有平面PL, 当P1,P2一致趋于P点，PL收敛于曲线在P点的密切面。 主法矢量：密切面内垂直于T的矢量。单位主法矢量记为N。 负法矢量：BT X N 法平面：曲线上P点垂直于T的平面; 从切面：曲线上P点垂直于N的平面;,1. 密切面：在曲线上p点邻域内取两点p1,p2；过三点有平面PL, 当p1,p2一致趋于p点，PL收敛于曲线在P点的密切面。,2 主法矢量：密切面内垂直于t的矢量。单位主法矢量记为n。,3 副法矢量 bt X n,4 法平面：曲线上p点垂直于切矢量t的平面;,5 从切面：曲线上

3、p点垂直于主法矢量的平面;,法矢量,密切圆：在曲线上P点邻域内取两点P1,P2；过三点做圆C, 当P1,P2一致趋于P点，C收敛于曲线在P点的密切圆。 曲率半径r ：P点密切圆的半径为曲线在P点的曲率半径； 曲率中心O： P点密切圆的圆心为曲线在P点的曲率中心 曲率: k=1/r,密切园,o,p1,p,p2,r,挠率描述曲线局部在从切面的弯曲程度； 曲率描述曲线局部在密切面的弯曲程度。,挠率,投影,曲线在密切面和从切面的弯曲,从切面,密切面,曲线间连接的光滑度的度量有两种：参数连续性：指函数对于参数的t可微性，如果曲线在P点对t是n阶可微的，则曲线在该点为n次参数连续，简记为Cn。几何连续性：

4、指函数对于弧长的可微性，如果曲线在P点对弧长n阶可微，则曲线在该点为n次几何连续，简记为Gn。,考察光滑曲线内部点的连续性是没有意义的，曲线的连续性主要考察组合曲线连接点的连续性。,3.4.3 曲线的连续性,3.4.3 曲线的连续性,参数连续,几何连续,1次连续,0次连续,2次连续,3次连续,3.4.4.1 Bezier曲线其中Pi（i=0，1，2，n）为给定空间n+1个点的位置矢量，称为控制定点。Bi,n(t)是n次Bernstein基函数 ，是已知函数,3.4.4 曲线的表示,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.1 Bezier曲线 对于三次Bezier曲线有：,t0,1,3.4.4 曲线

5、的表示,Bezier曲线的性质 Bezier 曲线是多项式曲线； 它是多项式曲线的一种形式； Bezier曲线由它的控制定点唯一确定； Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 端点的2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。,3.4.4 曲线的表示,Bezier曲线的性质凸包性：Bezier曲线 P(t)落在控制顶点构成的凸包之中。,变差减少性：若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该

6、直线与其特征多边形的交点个数。,若控制多边形为凸，则其Bezier曲线为凸。,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.2 B样条曲线Bezier曲线具有全局性，动一个控制顶点，整条曲线形状发生变化。它适于表示挺拔硬朗的曲线。对富于变化、形状复杂的柔美曲线表现力不足。B样条具有局部特性，移动一个控制顶点，只是曲线局部形状发生变化。它可以表现及其复杂的曲线形状。,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.2 B样条曲线,B样条曲线是一种分段的多项式曲线。在分段连接处，曲线满足一定的连续性条件。如三次B样条曲线，可以达到2次参数连续。 曲线分段处称为节点，对应参数称为节点参数，简称节点。 参数节点依次排列，形

7、成节点序列U=t0,tn+k+1.,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.2 B样条曲线,B样条曲线也由控制顶点表示,式中Pi(i=0,1,.,n)是控制多边形的顶点，Ni,k(t)(i=0,1,.,n)称为k次B样条基函数。,B样基函数Ni,k(t) (i=0,1,.,n)由节点序列U唯一确定。,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.2 B样条曲线,B样条曲线的形状取决于： 控制顶点 节点序列,控制顶点相同的两条B条曲线,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.2 B样条曲线,2性质,（）样条曲线由多段多项式曲线组成； （）曲线段连接处次样条曲线是次参数的，为节点重数；一般节点3次B样条曲线为2次参

8、数连续，即C2连续。 （）段次曲线组成的样条曲线具有个控制顶点。 （）其中一段曲线由个控制顶点唯一确定； （）样条曲线具有凸包特性； （ 6 ）样条曲线具有局部性质，一个控制顶点只能影响k+1段曲线；,3.4.4 曲线的表示,3. B样条曲线类型的划分,(1) 均匀B样条曲线,(2) 准均匀B样条曲线,(3) 一般非均匀B样条曲线,(3) 分段Bezier曲线,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.3 NURBS曲线,NURBS曲线全称为：非均匀有理B样条曲线。它是B样条曲线的有理分式形式。,式中Pi(i=0,1,.,n)是控制多边形的顶点，Ni,k(t)(i=0,1,.,n)称为k次B样条基函

9、数, i为控制顶点Pi的权因子。,NURBS曲线的形状取决于:控制顶点Pi;节点序列U;权因子i。,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.3 NURBS曲线,权因子对曲线的形状控制,权因子对曲线的推拉作用：当3取不同值时，曲线的形状变化。此时控制顶点，节点序列，以及其他权因子不变,3.4.4 曲线的表示,3.4.4.3 NURBS曲线,B样条方法可以方便地表示自由曲线，但不能精确地表示出抛物线以外的二次曲线，如椭圆、圆和双曲线。,有理二次曲线可以描述各种二次曲线,取0 21， 1 ,则 当11 ，曲线P(t)为双曲线；,“Engineering cannot be perfect if it i

10、s not perfect aesthetically”,Ettore Bugatti,3.4.5 曲线的光顺性,3.4.5 曲线的光顺性,对于光顺准则这样的基本概念，不同的研究者基于不同的美学理念，各有不同的认识。,苏步青和刘鼎元的客观性准则： （1）曲线C2连续； （2）没有多余拐点； （3）曲率变化均匀。,Bzier的的主观性准则：只有造型师、设计部经理、总经理、董事长以至用户都认可，这样的曲线、曲面才是好的。,曲率单调准则：如果一条曲线具有设计者给定的曲率单调段数，则它是光顺的。,企业的实用准则（A级曲面）： （1）圆角过渡满足曲率连续； （2）反射线分布均匀，粗细变化均匀； （3）控

11、制顶点分布规则，各行控制顶点之间角度变化均匀； （4）圆角过渡的边界线形态光顺； （5）曲面光滑连接处参数线没有明显畸变； （6）过渡曲面的次数一般为6次，可视具体情况适当提高曲面次数； （7）曲面网格线的曲率变化均匀。,3.4.5 曲线的光顺性,尽管已有很多有学术价值的研究成果，但目前仍找不到一种满足业界要求的自动方法。工程应用中，最终的光顺还是依靠设计人员移动控制顶点完成的，一些公司则在实物模型上进行手工光顺。,3.2.1 样条曲线的概念 3.2.2 样条曲线生成 3.2.3 垂直于一组平面的样条曲线 3.2.4 曲线的分析 3.2.5 椭圆、抛物线与双曲线 3.2.6 一般二次曲线 3.

12、2.7 螺旋曲线 3.2.8 曲线方程,3.2 复杂曲线的制作,3.2.1 样条曲线的概念（1）,Bezier曲线 Bezier曲线是一种特殊型式的多项式参数曲线； 它由一组控制顶点唯一确定； 控制顶点个数 nk-1, k为曲线次数；,3.2.1 样条曲线的概念（2）,2. B样条曲线（B-spline） B样条曲线是分段多项式参数曲线； 分段点称为节点 (knot)； 曲线在分段点的连续性满足Ck-1；k为曲线次数； B样条曲线由控制顶点（和节点序列）给出。,3.2.1 样条曲线的概念（3）,3. NURBS曲线（非均匀有理B样条曲线） NURBS样条曲线是B样条曲线的推广； 对每一个控制顶

13、点引入权因子； NURBS曲线由控制顶点,权因子（和节点序列）给出。,对二次曲线，取权因子0 21，则： 11 ，曲线P(t)为双曲线；,3.2.2 样条曲线生成,直接给定曲线的控制顶点 曲线插值 曲线逼近,控制顶点,曲线插值：曲线通过各插值点,曲线逼近：以最小二乘方式逼近型值点，不一定通过这些点,演示,3.2.3 垂直于一组平面的样条曲线,生成的曲线插值各平面的角点，曲线在各插值点的切矢量平行与平面的法矢量。,演示,3.2.4 曲线的分析,曲率梳曲率梳表示了曲线的曲率分布，是曲线光顺性质量评价的重要工具。,演示,曲率梳：曲率梳长度表示了曲线曲率的相对大小,3.2.5 抛物线与双曲线,椭圆 中

14、心 长轴半径 短轴半径 倾角 抛物线 焦点 焦距 倾角 双曲线,3.2.6 一般二次曲线,五点确定二次曲线,控制多变形与肩点,演示,3.2.7 螺旋曲线,参数 起始半径 结束半径 半径变化规律 螺距 轴线,演示,3.2.8 曲线方程,该命令根据用户给定的参数方程建立自由曲线.例 正弦曲线x=3*ty=sin(360*t)z=0,参数方程的形式 表达式t=1xt=3*tyt=sin(360*t)zt=0 图形关系 插值,图形关系,演示,3.3 曲线的操作,3.3.1 截面曲线 3.3.2 桥接 3.3.3 合并 3.3.4 投影 3.3.5 相交,3.3.1 截面曲线,求曲面与平面的交线,演示,

15、3.3.2 桥接,在两曲线之间生成一段曲线，并满足一定的连续性条件。 UG系统可实现的连续性 切线连续（一次连续） 曲率连续（二次连续）,演示,3.3.3 合并,将若干曲线（至少一次连续）合并成一条样条曲线,演示,3.3.4 投影,将曲线沿指定向投影到指定曲面上 曲面 投影方向 矢量 沿曲面法向量,演示,3.3.5 相交,两曲面求交,演示,3.5 曲线编辑,3.5.1 编辑曲线参数 3.5.2 样条曲线编辑 3.5.3 曲线裁减 3.5.4 曲线分割 3.5.5 拉伸,3.5.1 编辑曲线参数,1. 编辑直线(1) 端点移动(2) 改变长度/角度(3) 移动,1,3,2,2. 编辑圆弧(1) 圆心(2)半径(3) 起始/结束角,演示,3.5.2 样条曲线编辑,目的编辑样条曲线的主要目的是曲线光顺。 主要方法 移动控制顶点（精光顺） 自动光顺算法（初步光顺） 3. 光顺准则 曲率连续 曲率变化均匀 没有多余观点,演示,3.5.3 曲线裁减,参数 边界1 边界2（可不选） 被裁减曲线（选删除部分）,（边界2）,演示,