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1、计算机中的信息表示,教学目的：了解计算机中信息的表示方法，包括数值型数据和非数值型数据。 本章知识要点：1) 进位计数制及其相互转换2）机器数的概念，原码、补码、真值之间的转换,1.1 数值型数据的表示方法,一个数值型数据的完整表示涉及到三个方面的问题：1) 进位计数制2) 符号数字化3) 小数点位置的处理 1.1.1 进位记数制 计算机内部(考虑硬件)均采用二进制数编码。但在编程中经常涉及的进位记数制还有八进制、十六进制（表示地址码）和十进制（表示数据）。,1.1.1 进位计数制 每位数码的构成方法以及进位规则称数制。 进位记数制三要数：数码、位权、基数 十进制 每位：0 - 9十个数码 进
2、位规则 ：逢十进一 例如： （143.75 ）10 = 110+410+310+7101 + 510 2 任意十进制数 D=Ki 10i,1.1 数值型数据的表示方法,任意（N)进制数 D=Ki Ni 其中：N 基数， Ki 第I位的系数（N种数码）， Ni 第I位的权 1.计算机中常用的进位制 1）二进制 每位：0和1两个数码 进位规则：逢二进一 例如：（101.11）2 =1 2+02+120+121 + 122 = (5.75）10 任何二进制数 D=Ki 2i,1.1 数值型数据的表示方法,3）十六进制 每位：0 - 9、A（10）- F(15)表示 进位规则：逢十六进一 例如: (2
3、A.7F)16=2 161+10160+7161+1516-2 =(42.4960937)10 4）八进制 每位：0 7 表示 进位规则：逢八进一 例如: (23.71)8=2 81+380+781+18-2 =(19.890625)10,1.1 数值型数据的表示方法,各种进制的加减运算： 类似十进制数的运算：逢基数进一，借一当基数 例：110+10、1101-11 不同进制的标示： 二进制： （n）2 nB 八进制： （n）8 nQ 十进制： （n）10 nD 十六进制： （n）16 nH,1.1 数值型数据的表示方法,1.1 数值型数据的表示方法,2.各种进位记数制之间的转换1) 十进制数
4、二进制数的转换 a) 整数部分：采用除基取余法例: (123)10 (247)10 b) 小数部分：采用乘基取整法例: (0.625)10 (10.125)102) 二进制数十进制数的转换采用按权相加法(展开多项式）例: (11011001)2 (1010.01)10,1.1 数值型数据的表示方法,3) 八进制二进制每位八进制数可用三位二进制数表示。例: (247)8 (11001)2 (10011.1001)24) 十六进制二进制每位十六进制数可用四位二进制数表示。例: (3A8)16 (1100101)2,1.1 数值型数据的表示方法,1.1.2 带符号数的机器码表示(符号数字化).两个基
5、本概念1)机器数：在计算机内部使用的，连同数符一起数码化了的数，称为机器数。2)真值：机器数所代表的数的实际值，称为真值。 .各种机器码1)原码：最高位为符号位，0为正，1为负； 数据位即该数的绝对值。a) 定点小数形式：X=X0X1X2Xn则：X原= (其中X即真值),1.1 数值型数据的表示方法,举例说明：X=+0.1011 X原=0.1011X=-0.1011 X原=1.1011 b) 定点整数形式： X=X0X1X2XnX原= 例：X=-10110； 则X原=110110 结论：原码为符号位加数的绝对值，0正1负 原码特点：优点：数的真值和它的原码之间对应关系简单，相互转换容易。缺点：
6、用原码实现加减运算很不方便。,(2) 举例,例 1.1 已知 x原 = 1.0011 求 x,解:,例 1.2 已知 x原 = 1,1100 求 x,解:,0.0011,1100,由定义得,由定义得,例 1.4 求 x = 0 的原码,解:,设 x = + 0.0000,例 1.3 已知 x原 = 0.1101 求 x,解：, x = + 0.1101,同理，对于整数,+ 0 原 = 0,0000,+ 0.0000原 = 0.0000,根据 定义 x原 = 0.1101,原码性质,0可分+0和-0,有两个编码：+0 为 000 -0为 1002.符号和数值无关3.比较直观，但在电路设计时，需要
7、对最高位和其他位分别处理。,1.1 数值型数据的表示方法,)补码a)定点小数的补码 X=X0X1X2Xn X补= (mod 2)通式：X补=2符号位+X 例：若X=0.1101 ，则X补=0.1101 若X=-0.1011，按补码的定义， 则X补=2+X =10.0000- 0.1011 =1.0101,x = + 0.1110,例,x补 = 0.1110,1.0100000,=,1.1 数值型数据的表示方法,b) 定点整数的补码,x 为真值,n 为整数的位数,如,x = +1010,=,x补 = 0,1010,1,0101000,用 逗号 将符号位 和数值部分隔开,1011000,10000
8、0000,1.1 数值型数据的表示方法,c)补码的性质 在补码表示中，0有唯一的编码X=+0.0000 X补=X=0.0000Y=-0.0000 Y补=2+Y=10.0000-0.0000=10.0000=0.0000(对2取模）模),1.1 数值型数据的表示方法,1.1 数值型数据的表示方法, 补码适合于加减运算(即符号位和数值位 可同等处理)，其运算规则如下：X+Y补=X补+Y补X-Y补=X补+-Y补 注：运算结果只要不溢出，即为正确的结果。 由真值求补码（快捷方式）+101100、+11010、-101100、-11010 求补规则：正数的补码符号位为0，数值部分就是真值；负数的补码符号
9、位为1，数值部分可由真值的数值部分按位取反，末位加一得到。（定长，补足位数）,由补码求真值 规则：若补码的符号位为0，则真值为正，真值的数值部分等于补码的数值部分；若补码的符号位为1，则真值为负，真值的数值部分由补码的数值部分求补得到。（证明） 例：x补 = 00110100 x补 = 10110100 x = +0110100 x = -1001100 由x补求 （- x）补 规则:对x的补码（连同符号位）求补得到。 例： x补 = 00110100 Y补 = 10110100,3） 真值与机器数之间的相互转换 真值与机器数的相互转换 真值 机器数（原、反、补码） 正数 符号位为0，数值不变
10、（原码）不变 负数 符号位为1，数值 （补码）求补（反码）求反 机器数之间的相互转换（符号位不变） 符号位 数值部分 为0 不变 为1 转换,例：x原 = 11011000 求：反、补码 X反 = 00111010 求：原、补码 X补= 11011000 求：反、原码,1.2 数的定点表示和浮点表示,小数点按约定方式标出,一、定点表示,定点机,小数定点机,整数定点机,原码,补码,反码,(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1), 1 +(1 2-n), 2n +( 2n 1),(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1),二、浮点表示,计算机中 r 取
11、 2、4、8、16 等,当 r = 2,N = 11.0101,= 0.110101210,= 1.1010121,= 1101.012-10,= 0.001101012100,计算机中 S 小数、可正可负,j 整数、可正可负,规格化数,1. 浮点数的表示形式,Sf 代表浮点数的符号,n 其位数反映浮点数的精度,m 其位数反映浮点数的表示范围,jf 和 m 共同表示小数点的实际位置,尾数和阶码可用补码和原码表示，原码表示的比较多,2. 浮点数的表示范围,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,215 ( 1 2-10),2-15 2-
12、10,215 ( 1 2-10),上溢 阶码 最大阶码 下溢 阶码 最小阶码 按 机器零 处理,2-15 2-10,练习,设机器数字长为 24 位，欲表示3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1 位外，阶码、尾数各取几位？,满足 最大精度 可取 m = 4，n = 18,解：,6.2,规格化的浮点数(尾数的规格化)： 尾数应为纯小数 尾数的值不为0时，其绝对值应大于等于十进制的0.5而小于1，即1/2|X|1。浮点表示法的特点： 优点：在有限位数(即不增加字长)内，既能保证有较大的取值范围，又能保证较高的精度。 缺点：实现浮点运算的硬件成本较高 。,3. 浮点数的规格
13、化形式,r = 2,尾数最高位为 1,(尾数原码表示时),4. 浮点数的规格化,r = 2,左规 尾数左移 1 位，阶码减 1,右规 尾数右移 1 位，阶码加 1,例如：,最大正数,= 215( 1210 ),2+1111 0.1111111111,10 个 1,最小正数,最大负数,最小负数,= 21521,= 215( 12 10 ),= 216,= 21521,= 216,2-1111 0.1000000000,9 个 0,设 m = 4，n = 10，r = 2,尾数规格化后的浮点数表示范围,三、举例,解：,二进制形式,定点表示,浮点规格化形式,x原 = 1, 0010; 0. 1001100000,x补 = 1, 1110; 0. 1001100000,x反 = 1, 1101; 0. 1001100000,定点机中,浮点机中,000,x = 0.0010011,x = 0.0010011,x = 0.10011000002-10,x原 = x补 = x反 = 0.0010011000,x = 111010,0000,例 6.14,例：将 58 表示成二进制定点数和浮点数， 并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数的形式（其他要求同上例）。,
