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1、第十四章 平面解析几何初步 14.1 直线方程与两直线位置关系,高考数学,1.直线的倾斜角和斜率 (1)对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时,所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角,规 定直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为0.的取值范围为 0,) . (2)若直线的倾斜角不是90,则它的倾斜角的 正切值 叫做这条直 线的斜率,直线的斜率常用k表示,即k=tan ,为直线的倾斜角,由正切函 数的单调性可知倾斜角不同的直线,其斜率也不同.,知识清单,(3)经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k= .,3.两直
2、线平行与垂直 (1)若直线l1的方程为y=k1x+b1,直线l2的方程为y=k2x+b2,则l1l2的充要条 件是 k1=k2且b1b2 ,l1l2的充要条件是 k1k2=-1 . (2)若直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0, 则l1l2的充要条件是 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10 ; l1l2的充要条件是 A1A2+B1B2=0 . 4.常见直线系 (1)过定点(x1,y1)的直线系:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B20). (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系:Ax+By+=0(C). (3)垂直于直线Ax+B
3、y+C=0的直线系:Bx-Ay+=0.,(4)过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系:A1x+B1y+C1+(A2x +B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 5.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|= . 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= . 6.点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .,7.两条平行线间的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= . 拓展延伸 1.求斜率可用k=tan (90)
4、,其中为倾斜角,斜率k是一个实数,每条 直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率.倾斜角为9 0的直线斜率不存在. 如图1, 时,k单调递增且k0; 时,k单调递增且kk10k4k3,43 210(斜率为k1,k2,k3,k4的直线对应的 倾斜角为1,2,3,4). 在平面直角坐标系中,直线越陡,|k|越大.2.对称问题: (1)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).,(2)点(x,y)关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y=-x的对称点分别为 (x,-y)、(-x,y)、(-x,-y)、(y,x)、(-y,-x).,求直线的斜率及倾斜角范围的方法 当 且由
5、0增大到 时,k由0增大到+;当 时,k也 是关于的单调函数,当在此区间内由 增大到()时,k由- 趋近于0(k0),另外,解决此类问题时,也可借助图形直观地作出判断. 例1 (1)直线2xcos -y-3=0 的倾斜角的取值范围是 . (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直 线l斜率的取值范围为 .,方法技巧,解析 (1)直线2xcos -y-3=0的斜率k=2cos , 因为 ,所以 cos , 因此k=2cos 1, . 设直线的倾斜角为, 则有tan 1, .又0,),所以 , 即倾斜角的取值范围是 . (2)如图,kAP= =1,kB
6、P= =- , 直线l的斜率k(-,- 1,+).,答案 (1) (2)(-,- 1,+),直线方程的求法及应用 求直线方程可分为两种类型:一是根据题目条件确定一个点和斜率或两 个点,进而选择相应的直线方程形式写出方程,这是直接法;二是根据直 线在题目中所具有的某些性质,先设出方程(含参数),再确定其中的参数 值,然后写出方程,这是间接法. 例2 (2016江苏南通中学检测,15,14分)已知直线l经过直线l1:3x+2y-1=0 和l2:5x+2y+1=0的交点.求: (1)平行于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程; (2)在x轴,y轴上的截距相等的直线l的方程; (3)直线l与x轴
7、负半轴,y轴正半轴所围成的三角形面积最小时直线l的方程.,解析 由直线l1:3x+2y-1=0,l2:5x+2y+1=0得交点(-1,2). (1)由已知可设直线l的方程为3x-5y+c=0(c6),将(-1,2)代入可得c=13,从 而直线l的方程为3x-5y+13=0. (2)设直线l在x轴,y轴上的截距皆为a,当a=0时,设直线l的方程为y=mx(m 0),将(-1,2)代入,可得m=-2,从而直线l的方程为y=-2x. 当a0时,直线l的方程为 + =1,将(-1,2)代入,可得a=1,从而所求直线方 程为x+y-1=0. (3)由题意知直线l的斜率存在,设为k,且k0,则直线l的方程
8、为y-2=k(x+ 1), 分别令x=0,y=0可得:直线l与坐标轴的交点为(0,k+2), ,此时直线l与x轴负半轴,y轴正半轴所围成的三角形面积S= |k+2| = (2 +4)=4,当且仅当k= ,即k=2时取等号,从而k=2时, 三角形的面积最小,此时直线l的方程为y=2x+4.,有关直线的位置关系问题 判断两条直线的位置关系时,有两个高频出错点:一是忽视了直线的斜 率不存在的情况,二是忽视了两直线重合的情况.解答这类试题时要根 据直线方程中的系数进行分类讨论,求出结果后再代入直线方程中进行 检验,这样能有效地避免错误. 例3 在平面直角坐标系xOy中,已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y- 2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a= .,解析 易知点M在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x- y-1=0.由直线2x-y-1=0与直线ax+y-1=0垂直,得2a-1=0,即a= .,答案,
