《《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解基本不等式(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解基本不等式(含解析)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法第四节 基本不等式知识能否忆起一、基本不等式 aba b21基本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号二、几个重要的不等式a2b 22ab(a，bR)； 2( a，b 同号)ba abab 2(a，bR)； 2 (a，bR )(a b2 ) (a b2 ) a2 b22三、算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：a b2 ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p
2、，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 .(简记：积定和最p小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)p24小题能否全取1(教材习题改编)函数 yx (x0) 的值域为()1xA(，22 ，) B(0，)C2，) D(2 ，)解析：选 Cx0，y x 2，当且仅当 x1 时取等号1x2已知 m0， n0，且 mn 81，则 mn 的最小值为()A18 B36三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法C81 D243解析：选 Am0，n0，mn2 18.当且仅当 mn9 时，等号成立mn3(教材习题改编)已知 01，则
3、x 的最小值为 _4x 1解析：x x 1 1415.4x 1 4x 1当且仅当 x1 ，即 x3 时等号成立4x 1答案：55已知 x0，y 0，lg xlg y1，则 z 的最小值为_2x 5y解析：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.则 2 2，故 min2，当且 仅当 2y5x 时取等号又 xy10，即2x 5y 10xy (2x 5y)x2， y5 时等号成立答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式 ab2 ，ab 2，要弄清它们的作用和使用条
4、件及内在联系，ab (a b2 )两个公式也体现了 ab 和 ab 的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b 22ab逆用就是 ab ； (a，b0)逆用就是 ab 2(a，b0)等还要注意“添、a2 b22 a b2 ab (a b2 )拆项”技巧和公式等号成立的条件等三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法利用基本不等式求最值典题导入例 1(1)已知 x0，则 f(x)2 x 的最大值为_4x(2)(2012浙江高考)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是( )A. B.245 285C5 D6自主解答 (1)x0，
5、x 0，f(x)2 x2 .4x 4 x x (x) 2 4，当且仅当x ，即 x2 时等号成立4x 4 4 xf(x)2 242，4 x xf(x)的最大值为2.(2)x0，y0，由 x3y 5xy 得 1.15(1y 3x)3x4y (3x4y ) 2 15 (1y 3x) 15(3xy 4 9 12yx) 135 15(3xy 12yx) 135 15 3xy12yx5(当且仅 当 x 2y 时取等号)，3x4y 的最小值为 5.答案(1)2(2)C本例(2)条件不变，求 xy 的最小值解： x0，y0， 则 5xyx 3y2 ，x3yxy ，当且仅当 x3y 时取等号1225xy 的最
6、小值为 .1225由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件以题试法1(1)当 x0 时，则 f(x) 的最大值为_2xx2 1(2)(2011天津高考)已知 log2alog 2b1，则 3a9 b的最小值为 _(3)已知 x0，y0，xyx 2y ，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是_解
7、析：(1)x0， f(x) 1，2xx2 1 2x 1x 22当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x(2)由 log2alog 2b1 得 log2(ab)1，即 ab2，3 a 9b3 a3 2b23 (当且仅当 3a3 2b，即 a2b 时取等号)a 2b2又 a 2b2 4( 当且仅当 a2b 时取等号) ，2ab3a 9b23 218.即当 a2b 时，3 a9 b有最小 值 18.(3)由 x0，y 0，xyx 2y 2 ，得 xy8，于是由 m 2xy 恒成立，得 m28，2xy即 m10.故 m 的最大值为 10.答案：(1)1(2)18(3)10基本不等式的实际应用典题导入例
8、2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 ykx (1k 2)x2(k0)表120示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物( 忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由自主解答 (1)令 y0，得 kx (1k 2)x20，由实际意义和题设条件知 x0，k0，120故 x 10，当且仅当 k1
9、时取等号20k1 k2 20k 1k 202所以炮的最大射程为 10 千米(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标存在 k0，使 3.2ka (1k 2)a2成立120关于 k 的方程 a2k220ak a2640 有正根判别式 ( 20a) 24a 2(a264)0a6.所以当 a 不超过 6 千米时，可 击中目标由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料 ”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不
10、等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 以题试法2(2012福州质检)某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入1650 万元作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售15量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并
11、求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为 t 元，依题意，有 t258，(8 t 251 0.2)整理得 t265t1 0000，解得 25t 40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法(2)依题意，x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时，a x 有解150x 16 15 x2 10(当且仅当 x30 时，等号成立 )，a10.2.150x 16 150x16x因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和
12、，此时该 商品的每件定价为 30 元1已知 f(x)x 2( x0)，则 f(x)有 ()1xA最大值为 0 B最小值为 0C最大值为4 D最小值为4解析：选 Cx0，f(x ) 2224，当且仅当 x 1 xx ，即 x1 时取等号1 x2(2013太原模拟)设 a、b R，已知命题 p：a 2b 22ab；命题q： 2 ，则 p 是 q 成立的()(a b2 ) a2 b22A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B命题 p：(ab) 20ab；命题 q：(ab) 20.显然，由 p 可得 q 成立，但由 q 不能推出 p 成立，故 p 是 q 的
13、充分不必要条件3函数 y (x1)的最小值是 ()x2 2x 1A2 2 B2 23 3C2 D23解析：选 Ax1，x10.三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法y x2 2x 1 x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2x 1 3x 1 x 1 2x 12 2x 1 3x 1 3x 12 22 2.x 1 3x 1 3当且仅当 x1 ，即 x1 时，取等号3x 1 34(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a a，即 a0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于()1a 1b ka bA0 B4三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法C4 D2解析：选 C由 0 得 k ，而 24(ab 时取等1a 1b ka b a b2ab a b2ab ba ab号)，所以 4，因此要使 k 恒成立，应有 k4，即 实数 k 的最小值a b2ab a b2ab等于4.7已知 x，y 为正实数，且满足 4x3y12，则 xy 的最大值为_解析：124x3y 2 ，xy3.当且仅当Error!即Error!时 xy 取得最大值 3.4x3y答案：38已知函数 f(x)x (p 为常数，且 p0)若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则px 1实数 p 的值为_解析：由题意得 x10，f( x)x1 12 1，
