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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义11.3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.3.1 量量 词词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法知识点一 全称量词、全称命题思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m5；Q：对所有的 mR，m5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)答案 (1)语句 P 无法判断真假，不是命题；语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“所有的” ，可以判断真假，是命题语句 P 是命题 Q 中的一部分(2)常
2、见的全称量词有“任意一个” “一切” “每一个” “任给” “所有的” “凡是”等梳理 全称量词与全称命题全称量词所有、任意、一切、每一个符号x全称命题含有全称量词的命题形式“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立” ，可用符号简记为“xM，p(x)”知识点二 存在量词、存在性命题思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m5；Q：存在一个 mZ，m5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案 (1)语句 P 无法判断真假，不是命题；语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“存在一个” ，可以判断真假，是命题语句 P 是命题 Q 中的一
3、部分(2)常见的存在量词有“存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2等梳理 存在量词与存在性命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示x存在性命题含有存在量词的命题形式“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立” ，可用符号简记为“xM，p(x)”特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略1 “有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词()2全称量词的含义是“任意性” ，存在量词的含义是“存在性” ()3全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词()类型一 判
4、断命题的类型例 1 将下列命题用“”或“”表示(1)实数的平方是非负数；(2)方程 ax22x10(a1)至少存在一个负根；(3)若直线 l 垂直于平面 内任一直线，则 l.考点 量词与命题题点 全称(存在性)命题的符号表示解 (1)xR，x20.(2)x0，ax22x10(a1)(3)若a，la，则 l.反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断跟踪训练 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若 a0 且 a1，则对任意 x
5、，ax0；(2)对任意实数 x1，x2，若 x1x2，则 tanx1tanx2；(3)存在实数 T，使得|sin(xT)|sinx|；苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3(4)存在实数 x，使得 x210.解 (1)，(2)含有全称量词“任意” ，是全称命题(3)，(4)含有存在量词“存在” ，是存在性命题类型二 判断命题的真假例 2 判断下列命题的真假(1)xR，x2x1 ；12(2)，cos()coscos；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数 x，使等式 x2x80 成立考点 全称(存在性)命题的真假性判断题点 全称(
6、存在性)命题真假的判断解 (1)真命题，x2x1 x2x12122 0，(x12)1414x2x1 恒成立12(2)真命题，例如 ， ，符合题意42(3)真命题，函数 f(x)0 既是偶函数又是奇函数(4)假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数2(5)假命题，因为该方程的判别式 310，故无实数解反思与感悟 1.要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素x，证明 p(x)都成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题2要判定存在性命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x
7、，使p(x)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题跟踪训练 2 判断下列命题的真假(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)xR,2x2x10，(x14)7878不存在 xR，使 2x2x10，a0 时，x 2，1，1x2x1x当 xf(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是_(填序号)a0；a1.答案 解析 函数 f(x)|2x1|的图象如图所示由图可知 f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，要满足存在苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6x1，x2a，b且 x1f(x2)为真命题，则必有 a0.答案 3解析 为真命题4
8、下列命题：偶数都可以被 2 整除；角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；正四棱锥的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内角和大于 180.既是全称命题又是真命题的是_，即是存在性命题又是真命题的是_(填序号)答案 解析 是全称命题，是真命题；是全称命题，是真命题；是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；含存在量词“有的” ，是存在性命题，是真命题；是存在性命题，是真命题；是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为 180.5下列存在性命题是假命题的是_(填序号)存在 xQ，使 2xx30；存在 xR，使 x2x10；有的素数是偶数；有的有理数
9、没有倒数答案 解析 对于任意的 xR，x2x12 0 恒成立(x12)346已知 a0，函数 f(x)ax2bxc，若 x1满足关于 x 的方程 2axb0，则下列命题中为假命题的是_(填序号)xR，f(x)f(x1)；xR，f(x)f(x1)；xR，f(x)f(x1)；xR，f(x)f(x1)答案 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8解析 x1是方程 2axb0 的解，x1，b2a又a0，f(x1)是 yf(x)的最小值，f(x)f(x1)恒成立7已知命题 p：xR，x22xa0.若 p 为真命题，则实数 a 的取值范围是_答案 (，1)解析 由题意得 44a0 对任意 xR 都成立，
10、当 m0 时，显然成立，当Error!即当 00，12由题意知，原命题的否定为真命题，则 (a1)242 0，则2a12，则121a3.11已知命题 p：“x0,1，aex” ，命题 q：“xR，x24xa0” ，若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是_答案 e,4解析 由命题“pq”是真命题，得命题 p，q 都是真命题.因为 x0,1，所以 ex1，e，所以 ae；xR，x24xa0，即方程 x24xa0 有实数根，所以 424a0，解得 a4，即实数 a 的取值范围为e,4苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9二、解答题12判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号
11、表示，并判断其真假(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数 a，b，方程 axb0 都有唯一解；(3)存在实数 x，使得2.1x2x1解 (1)是存在性命题，用符号表示为“直线 l，l 的斜率不存在” ，是真命题(2)是全称命题，用符号表示为“a，bR，方程 axb0 都有唯一解” ，是假命题(3)是存在性命题，用符号表示为“xR，2” ，是假命题1x2x113已知命题 p：“x1,2，x2a0” ，命题 q：“xR，x22ax2a0” ，若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围解 由“p 且 q”是真命题，知 p 为真命题，q 也为真命题若 p 为真命题，则 ax2对
12、于 x1,2恒成立，所以 a1.若 q 为真命题，则关于 x 的方程 x22ax2a0 有实根，所以 4a24(2a)0，即 a1 或 a2.综上，实数 a 的取值范围为a|a2 或 a1三、探究与拓展14有下列四个命题：p1：x(0，)，xx；(12)(13)p2：x(0,1)，xx；1 2log1 3logp3：x(0，)，xx；(12)1 2logp4：x，xx.(0，13) (12)1 3log其中为真命题的是_考点 量词与命题题点 全称(存在性)命题的真假性判断答案 p2，p4解析 因为幂函数 yx(0)在(0，)上是增函数，所以命题 p1是假命题；因为对数苏教版高中数学选修 2-1
13、 同步学案讲义10函数 ylogax(0a1)是减函数，所以当 x(0,1)时，0logxlogx，所以 012131 21 log x，即xx，所以命题 p2是真命题；因为函数 yx在(0，)上单调递1 31 log x1 2log1 3log(12)减，所以有 0y1，当 x(0,1时，yx0，当 x(1，)时，yx0，所1 2log1 2log以命题 p3是假命题；因为函数 yx在上单调递减，所以有 0y1，而函数 y(12)(0，13)x 在上的函数值 y1，所以命题 p4是真命题1 3log(0，13)15已知 f(t)log2t，t，8，若命题“对于函数 f(t)值域内的所有实数 m，不等式2x2mx42m4x 恒成立”为真命题，求实数 x 的取值范围考点 全称命题的真假性判断题点 恒成立求参数的取值范围解 由题意知 f(t).12，3由题意知，令 g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2，当 x2 时，g(m)0，显然不等式不成立，所以 x2，则 g(m)0 对任意 m恒成立，12，3所以Error!即Error!解得 x2 或 x1.故实数 x 的取值范围是(，1)(2，)
