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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义11.3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.3.1 量量 词词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法知识点一 全称量词、全称命题思考 观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m5;Q:对所有的 mR,m5.(1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?(2)常见的全称量词有哪些?(至少写出五个)答案 (1)语句 P 无法判断真假,不是命题;语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“所有的” ,可以判断真假,是命题语句 P 是命题 Q 中的一部分(2)常
2、见的全称量词有“任意一个” “一切” “每一个” “任给” “所有的” “凡是”等梳理 全称量词与全称命题全称量词所有、任意、一切、每一个符号x全称命题含有全称量词的命题形式“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立” ,可用符号简记为“xM,p(x)”知识点二 存在量词、存在性命题思考 观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m5;Q:存在一个 mZ,m5.(1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?(2)常见的存在量词有哪些?(至少写出五个)答案 (1)语句 P 无法判断真假,不是命题;语句 Q 在语句 P 的基础上增加了“存在一个” ,可以判断真假,是命题语句 P 是命题 Q 中的一
3、部分(2)常见的存在量词有“存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2等梳理 存在量词与存在性命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示x存在性命题含有存在量词的命题形式“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立” ,可用符号简记为“xM,p(x)”特别提醒:在存在性命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略1 “有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词()2全称量词的含义是“任意性” ,存在量词的含义是“存在性” ()3全称命题中一定含有全称量词,存在性命题中一定含有存在量词()类型一 判
4、断命题的类型例 1 将下列命题用“”或“”表示(1)实数的平方是非负数;(2)方程 ax22x10(a1)至少存在一个负根;(3)若直线 l 垂直于平面 内任一直线,则 l.考点 量词与命题题点 全称(存在性)命题的符号表示解 (1)xR,x20.(2)x0,ax22x10(a1)(3)若a,la,则 l.反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题(2)看命题中是否含有量词,并判断该量词是全称量词还是存在量词(3)对不含或省略量词的命题,要根据命题涉及的实际意义进行判断跟踪训练 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若 a0 且 a1,则对任意 x
5、,ax0;(2)对任意实数 x1,x2,若 x1x2,则 tanx1tanx2;(3)存在实数 T,使得|sin(xT)|sinx|;苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3(4)存在实数 x,使得 x210.解 (1),(2)含有全称量词“任意” ,是全称命题(3),(4)含有存在量词“存在” ,是存在性命题类型二 判断命题的真假例 2 判断下列命题的真假(1)xR,x2x1 ;12(2),cos()coscos;(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数 x,使等式 x2x80 成立考点 全称(存在性)命题的真假性判断题点 全称(
6、存在性)命题真假的判断解 (1)真命题,x2x1 x2x12122 0,(x12)1414x2x1 恒成立12(2)真命题,例如 , ,符合题意42(3)真命题,函数 f(x)0 既是偶函数又是奇函数(4)假命题,如:边长为 1 的正方形的对角线长为,它的长度就不是有理数2(5)假命题,因为该方程的判别式 310,故无实数解反思与感悟 1.要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中每个元素x,证明 p(x)都成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x,使得 p(x)不成立,那么这个全称命题就是假命题2要判定存在性命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素 x
7、,使p(x)成立即可;如果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在,那么这个存在性命题就是假命题跟踪训练 2 判断下列命题的真假(1)有一些奇函数的图象过原点;(2)xR,2x2x10,(x14)7878不存在 xR,使 2x2x10,a0 时,x 2,1,1x2x1x当 xf(x2)”为真命题,则下列结论一定成立的是_(填序号)a0;a1.答案 解析 函数 f(x)|2x1|的图象如图所示由图可知 f(x)在(,0)上为减函数,在(0,)上为增函数,要满足存在苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6x1,x2a,b且 x1f(x2)为真命题,则必有 a0.答案 3解析 为真命题4
8、下列命题:偶数都可以被 2 整除;角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;正四棱锥的侧棱长相等;有的实数是无限不循环小数;有的菱形是正方形;存在三角形其内角和大于 180.既是全称命题又是真命题的是_,即是存在性命题又是真命题的是_(填序号)答案 解析 是全称命题,是真命题;是全称命题,是真命题;是全称命题,即任意正四棱锥的侧棱长相等,是真命题;含存在量词“有的” ,是存在性命题,是真命题;是存在性命题,是真命题;是存在性命题,是假命题,因为任意三角形内角和为 180.5下列存在性命题是假命题的是_(填序号)存在 xQ,使 2xx30;存在 xR,使 x2x10;有的素数是偶数;有的有理数
9、没有倒数答案 解析 对于任意的 xR,x2x12 0 恒成立(x12)346已知 a0,函数 f(x)ax2bxc,若 x1满足关于 x 的方程 2axb0,则下列命题中为假命题的是_(填序号)xR,f(x)f(x1);xR,f(x)f(x1);xR,f(x)f(x1);xR,f(x)f(x1)答案 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8解析 x1是方程 2axb0 的解,x1,b2a又a0,f(x1)是 yf(x)的最小值,f(x)f(x1)恒成立7已知命题 p:xR,x22xa0.若 p 为真命题,则实数 a 的取值范围是_答案 (,1)解析 由题意得 44a0 对任意 xR 都成立,
10、当 m0 时,显然成立,当Error!即当 00,12由题意知,原命题的否定为真命题,则 (a1)242 0,则2a12,则121a3.11已知命题 p:“x0,1,aex” ,命题 q:“xR,x24xa0” ,若命题“pq”是真命题,则实数 a 的取值范围是_答案 e,4解析 由命题“pq”是真命题,得命题 p,q 都是真命题.因为 x0,1,所以 ex1,e,所以 ae;xR,x24xa0,即方程 x24xa0 有实数根,所以 424a0,解得 a4,即实数 a 的取值范围为e,4苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9二、解答题12判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号
11、表示,并判断其真假(1)存在一条直线,其斜率不存在;(2)对所有的实数 a,b,方程 axb0 都有唯一解;(3)存在实数 x,使得2.1x2x1解 (1)是存在性命题,用符号表示为“直线 l,l 的斜率不存在” ,是真命题(2)是全称命题,用符号表示为“a,bR,方程 axb0 都有唯一解” ,是假命题(3)是存在性命题,用符号表示为“xR,2” ,是假命题1x2x113已知命题 p:“x1,2,x2a0” ,命题 q:“xR,x22ax2a0” ,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围解 由“p 且 q”是真命题,知 p 为真命题,q 也为真命题若 p 为真命题,则 ax2对
12、于 x1,2恒成立,所以 a1.若 q 为真命题,则关于 x 的方程 x22ax2a0 有实根,所以 4a24(2a)0,即 a1 或 a2.综上,实数 a 的取值范围为a|a2 或 a1三、探究与拓展14有下列四个命题:p1:x(0,),xx;(12)(13)p2:x(0,1),xx;1 2log1 3logp3:x(0,),xx;(12)1 2logp4:x,xx.(0,13) (12)1 3log其中为真命题的是_考点 量词与命题题点 全称(存在性)命题的真假性判断答案 p2,p4解析 因为幂函数 yx(0)在(0,)上是增函数,所以命题 p1是假命题;因为对数苏教版高中数学选修 2-1
13、 同步学案讲义10函数 ylogax(0a1)是减函数,所以当 x(0,1)时,0logxlogx,所以 012131 21 log x,即xx,所以命题 p2是真命题;因为函数 yx在(0,)上单调递1 31 log x1 2log1 3log(12)减,所以有 0y1,当 x(0,1时,yx0,当 x(1,)时,yx0,所1 2log1 2log以命题 p3是假命题;因为函数 yx在上单调递减,所以有 0y1,而函数 y(12)(0,13)x 在上的函数值 y1,所以命题 p4是真命题1 3log(0,13)15已知 f(t)log2t,t,8,若命题“对于函数 f(t)值域内的所有实数 m,不等式2x2mx42m4x 恒成立”为真命题,求实数 x 的取值范围考点 全称命题的真假性判断题点 恒成立求参数的取值范围解 由题意知 f(t).12,3由题意知,令 g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2,当 x2 时,g(m)0,显然不等式不成立,所以 x2,则 g(m)0 对任意 m恒成立,12,3所以Error!即Error!解得 x2 或 x1.故实数 x 的取值范围是(,1)(2,)