《高中数学苏教版选修2-2【基础过关】2.3（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修2-2【基础过关】2.3（一）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 数学归纳法数学归纳法(一一)一、基础过关1一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立可以推得nk2 时命题也成立，则下列说法正确的是_该命题对于 n2 的自然数 n 都成立该命题对于所有的正偶数都成立该命题何时成立与 k 取值无关2用数学归纳法证明：1时，由 nk 到 nk1 左边需要添加11211231123n2nn1的项是_3若 f(n)1 (nN*)，则 n1 时 f(n)是_121312n14已知 f(n) ，则 f(n)共有_项，且 f(2)_.1n1n11n21n25在数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算 a2，a3，a4，归纳推测
2、出 an的an3an1通项表达式为_二、能力提升6用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从 k 到 k1 左端需要增乘的代数式为_7已知 f(n)(nN*)，则 f(k1)f(k)_.1n11n213n18以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_证明：假设当 nk(kN*)时等式成立，即 242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当 nk1 时等式也成立因此对于任何 nN*等式都成立9用数学归纳法证明(1 )(1 )(1 )(1)(nN*)1314151n22n210用数学归纳法证明：1222324
3、2(1)n1n2(1)n1.nn1211已知数列an的第一项 a15 且 Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前 n 项和(1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式三、探究与拓展12是否存在常数 a、b、c，使得等式 122232342n(n1)2(an2bnc)对一切正整数成立？并证明你的结论nn112答案答案12.1123kk131 12134n2n1 1213145.26n562(2k1)7.13k13k113k21k18缺少步骤归纳奠基9证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，132321223等式成立(2)假设当 nk(k1
4、，kN*)时等式成立，即(1 )(1 )(1 )(1)，1314151k22k2当 nk1 时，(1 )(1 )(1 )(1)(1)1314151k21k3(1)，2k21k32k2k2k32k3所以当 nk1 时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意 nN*等式都成立10证明 (1)当 n1 时，左边1，右边(1)111，1 22结论成立(2)假设当 nk 时，结论成立即 12223242(1)k1k2(1)k1，kk12那么当 nk1 时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2kk12(1)k(k1)(1)k.k2k22k1k22即 nk1 时结论也成
5、立由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立11(1)解 a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想 anError!Error!.(2)证明 当 n2 时，a252225，公式成立假设 nk(k2，kN*)时成立，即 ak52k2，当 nk1 时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k1.512k112故 nk1 时公式也成立由可知，对 n2，nN*，有 an52n2.所以数列an的通项公式为anError!Error!.12解 假设存在 a、b、c 使上式对 nN*均成立，则当 n1,2,3 时上式显然也成立，此时
6、可得Error!Error!解此方程组可得 a3，b11，c10，下面用数学归纳法证明等式 122232342n(n1)2(3n211n10)对nn112一切正整数均成立(1)当 n1 时，命题显然成立(2)假设 nk 时，命题成立即 122232342k(k1)2(3k211k10)，kk112则当 nk1 时，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2kk112(k2)(3k5)(k1)(k2)2kk112(3k25k12k24)k1k2123(k1)211(k1)10k1k212即当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何正整数 n，等式都成立
