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1、第第 9 9 课时课时 通项公式通项公式a an n的求法的求法1.理解并掌握叠加法、累乘法求通项公式. 2.掌握等比差数列等几类特殊数列的解法. 3.初步掌握求通项公式an的方法.在推导等差数列的通项公式的时候我们用了累差法,在推导等比数列的通项公式的时候 我们用了累积法,今天,我们一起来看看数列的通项公式有哪些求法?问题 1:已知a1的值,且an-an-1=f(n)(n2),可以用累加法,即an-an-1= ,an-1-an-2= ,a3-a2= ,a2-a1= . 所有等式左右两边分别相加得an= . 问题 2:已知a10 且=f(n)(n2),可以用累乘法,即= ,= 1 1 1 2,
2、= ,= ,所有等式左右两边分别相乘,得 3221= ,即an= . 1 1 23221问题 3:由an与Sn的关系求an 由Sn求an时,要分n=1 和n2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式 表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an= . 问题 4:几种递推数列的转化方法 (1)an+1=can+d(c0,1),可以通过待定系数法设an+1+=c( ),求出后, 化为等比数列求通项;还可以用下列方法求解:an+1=pan+q, an=pan-1+q, -得:an+1-an=p(an-an-1),数列an-an-1是以 为首项, 为公比的等 比数列,由等比数列的通项公式求出a
3、n-an-1= ,再用累加法求出an. (2)an+1=(b为常数且b0),可化为= ,利用等差数列的通项 + 1 + 1公式求出,进而求出an. 1 1.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+1,nN+,则a6等于( ).A.32 B.48 C.64 D.962.已知数列an满足a1=4,an+1=2an+2n+1,那么数列an的通项公式是( ).A.an=2n B.an=(n+1)2nC.an=(n-1)2nD.an=3n-13.数列an满足a1=1,=+1,则a10= . 1 1 + + 11 1 + 4.已知数列an满足a1=1,an=an-1+3n-2(n2). (
4、1)求a2,a3; (2)求数列an的通项公式.待定系数法求通项公式 在数列an中,a1=1,当n2 时,有an=3an-1+2,求数列an的通项公式.累加法求通项公式 在数列an中,已知a1=1,当n2 时,有an=an-1+2n-1(n2),求数列的通项公式.构造法求通项公式 已知定义在 R 上的函数f(x)和数列an满足下列条件:a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,), a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a为常数,k为非零常数. (1)构造bn=an+1-an(nN+),证明数列bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式.已
5、知数列an的第 1 项是 1,以后的各项由公式an+1=给出,求出这个数列的通项公2+ 2式.在数列an中,已知a1=1,有nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式.在数列an中,a1=2,a2=4,且an+1=3an-2an-1(n2). (1)求证:数列an+1-an是等比数列; (2)求数列an的通项公式.1.已知数列an的前n项和Sn=3n-1,则其通项公式an等于( ).A.32n-1 B.23n-1 C.3n-1 D.3n2.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于( ).1 A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1
6、+n+ln n3.若数列an中,a1=,且对任意的正整数p、q都有ap+q=apaq,则an= . 1 34.在数列an中,a1=2,an+1=2an-n+1,nN+. (1)求证:数列an-n是等比数列; (2)求数列an的通项公式an.(2013 年安徽卷)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的 两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2.则 数列an的通项公式是 . 考题变式(我来改编):第 9 课时 通项公式an的求法知识体系梳理问题 1:f(n) f(n-1) f(3) f(2)
7、a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n)问题 2:f(n) f(n-1) f(3) f(2) f(2)f(3)f(n-1)f(n) a1f(2)f(3)f(n-1)f(n)问题 3:1 ( = 1), 1 ( 2)?问题 4:(1)an+ a2-a1 p (a2-a1)pn-1 (2)+1 1 基础学习交流1.B 当n2 时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a6=a224=316=48.2.B 由an+1=2an+2n+1得-=1,数列是首项为 2,公差为 1 的等差数列,即 + 12
8、+ 122=2+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n,故选 B.23.- 依题意知,数列是以=为首项,1 为公差的等差数列,= +(n-1)17 191 1 + 1 1 + 11 21 1 + 1 21=,an=,a10=-.2 1 23 2 2 117 194.解:(1)由题意可得a2=a1+4=5,a3=a2+7=12.(2)由已知:an=an-1+3n-2(n2)得an-an-1=3n-2,由递推关系,得an-1-an-2=3n-5,a3-a2=7,a2-a1=4,叠加得:an-a1=4+7+3n-2=,an=(n2).( 1)(4 + 3 2) 232 2 232 2当n=1 时
9、,1=a1=1,适合上式,3 12 1 2数列an的通项公式an=.32 2重点难点探究探究一:【解析】设an+t=3(an-1+t),则an=3an-1+2t,t=1,于是an+1=3(an-1+1).an+1是以a1+1=2 为首项,3 为公比的等比数列.an=23n-1-1.【小结】递推公式an+1=pan+q(p1,q0)求通项的常用方法主要有两种:1.化成等比数列an+t,然后利用通项公式即可求出;2.由an+1=pan+q,得an=pan-1+q, -得:an+1-an=p(an-an-1),由等比数列的通项公式求an-an-1=(a2-a1)pn-1,再用累加法求出an.探究二:
10、【解析】an-an-1=2n-1(n2),2 1= 3, 3 2= 5, 4 3= 7, 1= 2 1,?上述n-1 个等式相加可得:an-a1=n2-1,an=n2.【小结】一般情况下,累加法里只有n-1 个等式相加.探究三:【解析】(1)由b1=a2-a10,可得:b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由题设条件,当n2 时,=k,故数列bn是公比为k的 1 + 1 1() ( 1) 1( 1) 1等比数列.(2)由(1)知bn=kn-1(a2-a1)(nN+),b1+b2+bn-1=(a2-a1)(n2),1 1 1 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2
11、+an-an-1=an-a1(n2),an-a1=(a2-a1)(n2),1 1 1 故an=a+f(a)-a(nN+).1 1 1 问题上述解法正确吗?结论不正确.(2)中要分k1 和k=1 进行讨论,以及对n要分n=1 和n2 进行讨论.于是,正确的解答为:(1)同错解部分.(2)由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN+),当k1 时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)(n2);1 1 1 当k=1 时,b1+b2+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1(n2),当k1 时,
12、an-a1=(a2-a1)(n2),1 1 1 上式对n=1 也成立,数列an的通项公式为an=a+f(a)-a(nN+);1 1 1 当k=1 时,an-a1=(n-1)(a2-a1)(n2),上式对n=1 也成立,所以数列an的通项公式为an=a+(n+1)f(a)-a(nN+).【小结】利用等比数列前n项和公式时务必要考虑q=1 和q1 两种情况.思维拓展应用应用一:由an+1=得:=+,2+ 21 + 11 1 2数列是以=1 为首项, 为公差的等差数列,1 1 11 2=1+(n-1)=,1 1 2 + 1 2an=.2 + 1应用二:an=a1 1 1 2 2 33221= 1=.
13、 + 1 1 2 13 42 32 + 1又a1也满足上式,an=(nN+).2 + 1应用三:(1)an+1=3an-2an-1,an+1-an=2(an-an-1)(n2),则数列an+1-an是以a2-a1=2 为首项,2 为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1-an=22n-1=2n,2 1= 2, 3 2= 22, 4 3= 23, 1= 2 1,?上述n-1 个等式相加可得an-a1=2n-2,2(1 2 1) 1 2an=2n(nN+).基础智能检测1.B 当n2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1,又a1=S1=31-1=2 满足an=23n-1,故选B.2.A (法一)取n=2,则a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除 C、D;取n=3,则a3=a2+ln(1+)=2+ln 2+ln=2+ln 3,排除 B,选 A.1 23 2(法二)an+1=an+ln(1+),a2-a1=ln(1+)=ln 2,a3-a2=ln(1+)=ln ,a4-a3=ln(1+)1
