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1、第二章 单自由度系统的自由振动,振动理论与测试技术 48学时 讲课教师 殷祥超,中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二一年二月,第二章 单自由度系统的自由振动,2.1 单自由度力学模型和基本概念,（1）振动系统的自由度数: 能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立座标的数目。只需一个独立坐标就可完全确定的其几何位置系统，称为单自由度系统。（2）基本系统和力学模型质量弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。,单自由度系统的力学模型,静平衡时,实际振动系统的简化,拖拉机驾驶员的胃的垂直振动,质量弹簧系统,根据振动形式的不同，独立座标可以选取线位移 或者角位移 来表示。,其它形式的振
2、动系统,描述系统的广义坐标,对应于广义坐标的广义激振力,对于不同的广义坐标，采用：,等效质量,等效阻尼系数,等效刚度,本章研究：,1、振动系统的固有频率 2、系统在初始条件下的响应 3、有阻尼系统的自由振动,2.2 单自由度无阻尼系统的自由振动,令：,标准形式,通解为：,或者：,式中 为任意常数，由初始条件确定。,简谐振动,振幅：A,相位：,初相位：,圆频率：,弧度秒（rad/s）,无阻尼自由振动（固有振动）的特性：,1、简谐振动。,2、振动频率,仅与系统本身的固有参数有关，,称为系统的固有频率。,3、振幅A，相位,由初始条件确定。,初始条件：,带入,求得：,通解为：,例2-1,提升系统,匀速
3、下降,试求：,绳的上端突然被卡住时重物的振动频率、振动规律及钢丝绳中的最大张力。,解：,系统的振动频率为：,系统的振动规律为：,其中振幅为：,钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张力和振动引起的动张力之和：,其中动张力,例2-2 复摆,已知：质量为m，转动惯量为Io ，,求：,复摆的运动微分方程及微幅摆动的周期T 。,解：由刚体定轴转动微分方程得,非线性方程,微幅摆动时,化为标准形式：,线性方程,系统的固有频率,微幅摆动的周期,复摆的振动,微幅摆动的周期,复摆法测量物体转动惯量的原理：,由平行轴定理,复摆的振动,例2-3 扭振系统,已知：杆件的直径为d，长度为l，材料的剪切模量为G，圆盘的转动惯量为
4、I 。,试求：系统的固有频率。,解：,由材料力学理论可知,为扭转刚度系数,由达朗伯原理,扭振系统的固有频率为：,2.3 固有频率的计算,一、静变形法,静变形,由静平衡条件：,系统的固有频率为：,弹簧的刚度系数：,静平衡位置,弹簧原长位置,例2-4,质量为 m 的物体从高处h 自由落下，与一根抗弯刚度为 EI 、长 l 的简支粱作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。,解：,静变形,梁的自由振动频率为：,设撞击时刻为零时刻,则：,自由振动的振幅为：,梁的最大挠度则为：,二、能量法,保守系统,系统的动能,系统的势能,将T、U 带入得到：,即：,势能是一个相对量。,取系统静
5、平衡位置处的势能为零点，即U=0,平衡位置 T=Tmax U=0,最大位移处 U=Umax T=0,机械能守恒,例2-5 一个重量为 W、半径为 r 的均质圆柱体在一个半径为 R 的圆柱面内作无滑动滚动。,求:圆柱体在平衡位置附近作微幅振动的微分方程和固有频率。,解：,带入,得到,即：,系统的固有频率为：,2.4 等效质量与等效弹簧刚度,系统的动能和势能,当 、 分别取得最大值时，动能T、势能U也分别取得最大值：,其中 Me 及 Ke 称为简化系统的等效质量和等效刚度。,串联和并联弹簧系统等效刚度的计算方法,1、并联弹簧的等效刚度,等效刚度为：,2、串联弹簧的等效刚度,等效刚度为：,即：,串联
6、弹簧和并联弹簧,例2-6,刚性杆AB上固结两个集中质量m1 、m2 ，如不计刚性杆的质量，求系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度。,解：,（1）用能量法求解,例2-7 电动式激振器测试件固有频率,被测试件简化为弹簧质量系统k1、m1，试验时激振器的顶杆与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为m2，支承弹簧的刚度为k2。,（1）试计算系统的等效刚度；,（2）设测得系统的固有频率为 f，已知激振器的可动系统的固有频率 f2=7Hz，可动部件质量m2 与试件质量m1 之比为0.01，求试件的固有频率 f1。,1-试件 2-激振器可动部件,解：刚性联接,（1）求系统的等效刚度：,等效刚度为：,相当于两
7、个并联弹簧,（2）求试件的固有频率 f1 ：,系统的固有频率为：,（2）求试件的固有频率 f1 ：,系统的固有频率 f 为：,激振器可动系统的固有频率 f2 为：,试件的固有频率 f1 为：,可动部件m2 与试件m1 的质量比为,带入 f 求出：,测量误差：,如果测得 f=50Hz,2.5 有阻尼系统的自由振动,线性粘滞阻尼,R 粘滞阻尼力; v 相对速度; c 粘滞阻尼系数, 简称阻尼系数，单位为Ns /m;,令：,n 称为衰减系数，,单位为1/s 。,系统的固有频率,再令：,有阻尼自由振动方程的标准形式,设：,特征方程：,特征根：,方程的解：,一、大阻尼情况,S1 、s2 为两个不等的负实
8、根,得到：,时的振动曲线,二、小阻尼情形,s1 、s2 为两个共轭的复根,令：,方程的通解：,将 ， ， 带入,可以改写为：,称为有阻尼系统的固有频率。,振动衰减曲线,称为瞬时振幅,称为衰减振动的频率,阻尼对自由振动的影响：,振动的频率降低；,周期增大；,振动幅值衰减。,定义衰减振动的周期：,阻尼使衰减振动的周期增大，,频率降低。,当 时,当 时,在小阻尼情况下，计算系统的固有频率时可以不考虑阻尼的影响，近似认为：,减幅系数：,定义：,有阻尼自由振动的振幅按几何级数衰减，衰减的快慢程度取决于衰减系数,振动10次后，振幅减少为原来的,对数衰减率：,对数衰减率：,测定阻尼系数,相对阻尼系数,较小时：,即：小阻尼时：,通过实验确定阻尼系数的方法,三、临界阻尼情形,两个相等的重根,通解为：,系统的运动也不再具有往复振动的特性，而是随时间迅速衰减并趋于零。,称为临界阻尼系数，,仅仅取决于系统本身的特性。,相对阻尼系数，,相对阻尼比,在大阻尼和临界阻尼的情况下，系统的运动迅速衰减，并无振动的特点。,小阻尼情况下：,系统的运动才具有振动的特点。,振动的频率比无阻尼自由振动的频率小振动的幅值以 的形式衰减。,例2-8,系统在衰减振动过程中，经20个周期振幅由0.64cm减为0.16cm。,求：系统的阻尼系数 c 。,解 ：,作业：,2-6 2-15 2-17 2-23 2-26 2-27,
