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1、1,第四章 三角函数,同角三角函数的关系与诱导公式,第 讲,2,2,3,4,一、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系: ;1+tan2=sec2,1+cot2=csc2; 2. 商数关系: , 3. 倒数关系: , cossec=1,sincsc=1. 二、诱导公式,sin2+cos2=1,tancot=1,5,1.2k+(kZ),-,2-的三角函数值等于的 三角函数值,前面加上一个把看成 角时原函数值的符号.2. , 的三角函数值等于的 函数值,前面加上一个把看成 角时原函数值的符号.记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.(注:奇、偶指 的奇数倍或偶数倍.),同名,锐,互余,锐,6,1已
2、知ABC中, 则cosA=( )先由 知A为钝角, 则cosA0,排除A和B; 再由 和sin2A+cos2A=1, 求得 故选D.,D,7,C,8,3.已知tan=2, 则sin2+sincos-2cos2=( ),9,sin2+sincos-2cos2 故选D.,10,考点1: 运用同角三角函数关系求值 1. (1)已知 求tan;(1)因sin= 0, 所以为第一或第二象限角. 当为第一象限角时, 当为第二象限角时,由(1)知,tan= .,11,(2)已知sin=m(m0,m1),求tan.,(2)因为sin=m(m0,m1), 所以 (当在第一、四象限时取正号,当在第二、三象限时取负
3、号). 所以,当为第一、四象限角时,当为第二、三象限角时,,12,【点评】:同角三角函数关系式是化异名(函数)为同名(函数)的基础.主要的三个关系式为sin2x+cos2x=1, tanxcotx=1.转化时注意符号的取舍,如果角的范围不能确定,则注意分类讨论.,13,已知tan=m(m0),求sin的值.因为tan=m0, 所以在第二、四象限. 当在第二象限时,当在第四象限时,,14,2.设是第二、三象限的角, 求证: 证明:因为是第二、三象限的角, 所以cos0. 所以左边,题型2 :运用同角三角函数关系化简、证明,15,=右边, 所以结论成立.,【点评】:解决有关三角函数式的化简与证明的
4、问题,关键是合理选择公式和变形方向,如异名化同名、整体代换、切化弦,等等.,16,17,18,3. 化简下列各式: (1) (2) (1)原式=,题型3 :诱导公式的应用,19,(2)原式=,20,【点评】:诱导公式是化任意角的三角函数为锐角三角函数的公式,也是化异角为同角的公式,化简时特别注意符号的规定.,21,已知 (1)化简f(); (2)若 求f()的值; (3)若=-1860,求f()的值.,22,(1),(2)由 及 得 (3),23,4. 已知sin+cos= ,(0,). 求下列各式的值: (1)tan; (2)sin-cos; (3)sin3+cos3.,题型4 :sinco
5、s与方程思想,24,解法1:因为sin+cos= ,(0,), 所以(sin+cos)2= =1+2sincos, 所以sincos=- 0,cos0,cos0, 所以sin-cos= .,26,(3)sin3+cos3 =(sin+cos)(sin2-sincos+cos2) =,【点评】:由sin2+cos2=1知,在式子sin+ cos, sin-cos及sincos中,知道其中一个,便可求得其余两个式子的值.求解中注意符号的讨论与取舍.,27,28,29,30,31,化简 解法1:原式=,题型 :“1”的妙用,32,解法2:原式=,33,2. 已知 求下列各式的值: (1) ; (2)
6、sin2+sincos+2. 由已知得 (1),题型:切割化弦与齐次式的应用,34,(2),35,1. 已知角的某一个三角函数值,求角的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择.一般思路是按“倒、平、倒、商、倒”的顺序求解,特别是要注意开方时的符号选取.,36,2. 在进行三角函数式化简和三角恒等式的证明时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,一般思路是切割化弦. 3. 证明三角恒等式的常用方法为: 从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简; 证明左、右两边都等于同一个式子(或值).,37,第四章 三角函数,三角函数的化简、求值,第 讲,3,(第二课时),38,题型4:化简求值,1. 求
7、的值.原式,39,40,【点评】:在化简、求值中,注意“配角”变形:一是把角化为特殊角与已知角的关系;二是把异角化为同角.,41,42,43,44,题型5:给值求值 2. 已知求sin2的值.因为 所以 所以,45,所以,46,【点评】:解决“给值求值”问题的策略是:一方面主要进行角的变换,即所求式子的角如何转化为已知角(或特殊角)之间的和、差、倍的关系,如本题中所求的角2就是转化为+与-的和;另一方面注意角的范围及三角函数符号的确定.,47,已知 tan(+)=1, 且是第二象限的角, 那么tan的值是( ),48,由 是第二象限角, 可得 从而tan=tan(+-)故选D.,49,题型6:
8、给值求角 3. 已知 且,(0,),求2-的值.因为又,50,所以而tan=tan(-)+ ,(0,), 所以 由于 所以 所以 所以,51,【点评】:解决“给值求角”问题,首先根据条件求得所求角的某个三角函数值,然后讨论角的范围,最后根据角的范围写出角的值.,52,已知、为锐角,求+2的值.易求出tan(+2)=1. 因为 且 所以 所以 所以 故,53,1.“配角”的思想在给值求值中的应用 给值求值的重要思想是沟通已知式与欲求式之间的联系,常常在进行角的变换时,要注意各角之间的和、差、倍、分的关系,如:,54,=-(-),等等.,55,2. 给值求角的两个重要步骤缺一不可 (1)根据题设条件,求角的某一三角函数值; (2)讨论角的范围,必要时,还需要根据已知三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大小.,