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1、l几类与矩阵的秩有关的问题Several types of issues related to the rank of matrix专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: l摘摘 要要本文研究了与矩阵的秩有关的几类问题, 用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系; 求解线性方程组; 判断空间中点线面的位置关系; 二次型; 线性变换等方面的应用.关键词: 矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换lAbstractThis article study several types of issues related to the rank of matrix, the
2、orem and the examples used the rank of the matrix in the linear relationship between vector, solving linear equations, determine spatial point line surface location relationship, quadratic, linear transformationand other applications.Keywords: Rank of matrix; Vector; Linear equations; Set relations;
3、 Quadratic; Linear transformationand l目录目录摘 要 IABSTRACTII0 引言 11 矩阵的秩的定义及简单性质.12 矩阵的秩与向量的线性关系.23 矩阵的秩与线性方程组的解.44 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系.75 矩阵的秩与二次型106 矩阵的秩与线性变换13参考文献 16l0 引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型理;
4、线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义 定义 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓1矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.1.2 矩阵的秩的几个简单性质 (1.2.1) 秩() = 0, 当且仅当是零矩阵 AA(1.2.2) 秩() =, 当且仅当|0 AnA(1.2.3) 设是矩阵, 则秩() AmnAmin,m n(1.2.4) 秩秩+秩ABAB(1
5、.2.5) r00( )( )0AArr Ar BBCBB(1.2.6) 设, 分别为与矩阵, 则秩min秩,秩, , .ABnmmsABABnmsl2 矩阵的秩与向量的线性关系高等代数中, 判断向量组的线性相关性时, 我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来. 这种做法简单易懂, 但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂, 上述方法有一定的局限性. 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题. 首先, 有以下的结论.2.1 线性相关性的判断定理2.1 设 令=, 其中是矩阵, 为维列12,n sP A12,s Ansin向量, 且= 则x 12( ,)sx xx线性相关=
6、0有非零解秩.12,s AxAs线性无关=0只有零解秩= .12,s AxAs例2.1 设为阶方阵, 为个线性无关的维向量, 证明: 秩=的An12,n nnAn充要条件是, , , 线性无关.A1A2An证明 令=, 那么0.B12,n B先证明必要性 设秩=, 所以0. 令AnA=0 （2.1.1） 1122()()()nnk AkAkA用左乘（2.1.1）式得=0. 所以.1A1122nnkkk120nkkk即 , , , 线性无关.A1A2An再证明充分性 因为, , , 线性无关，A1A2An所以=0,12,nAAAAB从而0, 即 秩=AAnl2.2 极大线性无关组定理2.2 （1
7、） : , 若在中存在 个线性无关的向量 12m， r, 且都可以由线性表出, 则称是12r， 12r，12r，的一个极大线性无关组, 且称秩= . r（2） 两个等价的的向量具有相同的秩.（3） 若=, 其中是矩阵, 若线12m（，）12(,)s AAsm12,s 性无关, 则秩=秩.12,m A例2.2 设有向量组（） =, =, =,11,0,221,1,331, 1,2 a（） =, =, =.11,2,3a22,1,6a32,1,4a试问：当a为何值时, 向量组（）与（）等价? 当a为何值时, 向量组（）与（）不等价？解 作初等行变换, 有 123123, =111122 01121
8、1 232364aaaa 102111 011211 001111aaaa （1）当a时, 有行列式=0, 秩=3, 故线性方程组11231a123, =均有惟一解. 所以可由向量组（）线性表示. 112233xxxi(1,2,3)i 123, 行列式=60, 秩=3, 故可由向量组（）线性表123123, 123, 示.因此向量组（）与（）等价.（2）当a=时, 有1123123, 102111 011 211 000202 l由于秩秩, 线性方程组=无解, 故123, 1231, 112233xxx1向量不能由线性表示. 因此, 向量组（）与（）不等价.1123, 3 矩阵的秩与线性方程组
9、的求解线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：1. 方程组是否有解？2. 方程组有解时, 解的个数是多少？3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关, 既有下面的定理.3.1 齐次线性方程组的求解定理3.1 设齐次线性方程组2(3.1)1111221121222211220,0,0.nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x 系数矩阵的秩. 且方程组(3.1)的解空间为. 则可以得到下列结()ijm nAa( )R ArV论,
10、这里表示方程组(3.1)解空间的维数dim( )( )VnR Adim( )V例3.1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解123412341234220,240,220.xxxxxxxxxxxx 解 设方程组的系数矩阵为为, 将用初等行变换化为阶梯形矩阵AAl=A12121212 24110011 12210000 因此 秩=2, 基础解系所含向量个数=42=2A所以 原方程的同解方程组为1234342200xxxxxx 即 ,124342xxx xx 取=1, =0 代入得 =, =02x4x1x23x得解向量 =;12,1,0,0取=0, =1 代入得=, =12x4x1x
11、13x得解向量=.21,0,1,1所以, 为原方程组的一个基础解系12那么方程组的全部解为,其中,为任意常数.1 122kk1k2k3.2 非其次线性方程组的求解定理 3.2 设有非齐次线性方程组(3.2)AXB其中. 则有 1212,.,.TT ijnnm nAaXx xxBb bb线性方程组(3.2)有解R()=R, 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;AA B线性方程组(3.2)有唯一解; ()()R AR A Bn n为未知数的个数线性方程组(3.2)有无穷多组解( ).R AR A Bn例 3.2 当 , 取何值时, 线性方程组cdl123451234523455123451,323,2
12、263,5433.xxxxxxxxxxcxxxxxxxxxxd 无解? 有解? 有解时, 求出一般解.解 对增广矩阵作一系列初等变换：1111 1 11111 11 32113012263 01226 3012263 54331012265ccdd .1111 111111 11 00000012263 01226300000 000002000002c c dd 从而有：当 或者时, 故方程组无解;10,c 2d ( )(),R AR A B当, 且时, 0, 0( =1, 2, , ; =1, 2, , ). 称为正惯性指数, 为负ibjcipjqpq惯性指数, 为符号差; 且秩=+, 其
13、中为二次型的矩阵.pqApqAf例 5.1 求二次型=的秩与符号差.12,nf x xx2114niij iij nXx x 解 设对应的矩阵为, 则12,nf x xxA=,A1222212222122221 于是由=EA 1(1)2(1)(1)( 2)nn1(1)(21)nn可得的特征值为 A,111,21nnn 所以的秩=, 的符号差=.12,nf x xxn12,nf x xx1 (1)2nnl5.3 矩阵的秩与二次型的正定设二次型=, 其中, 那么有以下的结论：12,nf x xxx AxAA正定的正惯性指数与秩都等于,Afn负定的负惯性指数与秩都等于,Afn半正定的正惯性指数与秩相等.Af例 5.2 设为阶满秩矩阵, 试证明: ()是一个正定二次型, 这里=AnXAAXX.12,nx xx证明 设是满秩矩阵, 令=, 其中=, 则AYAXY1,nyy=是非退化线性替换, 且X 1AY()= (5.2.1)XAAXY222 12nyyy由(5.2.1)看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于. n
