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1、概率论与数理统计,主讲:柯大观电话:86689930(办) 手机:13806884706 短号:674706 Email: 办公地点:温州医学院茶山校区4A417 公共邮箱:,公共邮箱密码:09shenggong,中心极限定理(Central limit theorem),客观背景:客观实际中,许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成,每一个微小 因素,在总的影响中所起的作用是很小的,但总起来, 却对总和有显著影响,这种随机变量往往近似地服从 正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,独立同分布的中心极限定理,设随机变量
2、X1,X2,Xn相互独立,服从同一分 布,且有有限的数学期望 和方差 ,则随机变量的分布函数 满足如下极限式,为什么是n?,从左到右依次为的概率密度。,定理的应用:对于独立的随机变量序列 ,不管服从什么分布,只要它们是同分布, 且有有限的数学期望和方差,那么,当n充分大时,这 些随机变量之和 近似地服从正态分布,例 一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变 量,相互独立,且具有同一分布。其数学期望是2mm, 均方差是0.05mm,规定总长度为200.1mm时产品合 格,试求产品合格的概率。,解 设部件的总长度为X,每部分的长度为Xi(i=1,2,10),则,由定理4.5可知:X近似地服从正
3、态分布,即,续解 则产品合格的概率为,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,(De Moivre-Laplace),定理 设随机变量 服从二项分布 ,则对 于任意区间 ,恒有,二项分布的极限分布是正态分布,例 现有一大批种子,其中良种占1/6,今在其中任选 6000粒,试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差 小于1%的概率是多少?,解 设取出的种子中的良种粒数为X,则,所求概率为,续例 种子中良种占1/6,我们有99%的把握断定在6000 粒种子中良种所占的比例与1/6之差是多少?这时相应的 良种数落在哪个范围?,解 设良种数为X,则,设良种所占比例与1/6的差值为 ,则依题意有,查表得,此时有,即,解 设100根木材中长度不短于3米的根数为X,则,有一大批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不 小于3米,现从这批木材中任取100根,试求其中至少 有30根短于3米的概率。,练习,所求概率为,作业,无作业 随后进行课堂测验,C U next time!,