掠俘问题

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1、17.5 掠俘问题掠俘问题学习目的 1. 能建立掠俘问题的数学模型； 2. 会求解掠俘问题的数学模型；3. 能用掠俘问题的数学模型解决一些实际问题。为什么第一次世界大战期间在地中海捕获的鲨鱼的百分比急剧增加？20 世纪 20 年代，意大利生物学家 V棣安考纳(Dancona)在研究相互制约的各种鱼类总数变化时，他无意中发现了第一次世界大战前后地中海各港口所捕获各种鱼类占总鱼量的百分比的资料。如在 19141923 年期间，意大利阜姆港收购的掠肉鱼(鲨鱼等)所占比例如下：1914 1915 1916 1917 1918 191911.9% 21.4% 22.1% 21.2% 36.4% 27.3

2、%1920 1921 1922 192316.0% 15.9% 14.8% 10.7%对于资料进行分析，使得棣安考纳感到惊异的是：在战争期间，掠肉鱼的百分比急剧增加，如何解释这一现象呢？起初，棣安考纳认为掠肉鱼比例增加的原因是战争时期捕鱼量大大降低了，所以掠肉鱼得到了更多的食物，于是它们迅速的繁殖起来。但是这种解释还不能令人满意，因为战争期间食用鱼(掠肉鱼的食物)因捕获量的减少它的总数也增了。为什么在战争期间掠肉鱼之间的比例发生了这么大的变化？为什么捕鱼量的降低对于掠肉鱼比食用鱼更有利？对于这种现象，棣安考纳试图从生物学的各个角度来解释，仍得不到满意的答案，不得已去找他的同事个著名的意大利数学

3、家 V沃特拉(Volterra)，希望沃特拉能够建立一个关于掠肉鱼食用鱼生长情况的数学模型，并且希望这个数学模型能够回答他的问题。沃特拉把所有鱼分为两类：食用鱼和掠肉鱼并记 x(t)表示食用鱼总数量，y(t)表示掠肉鱼总数量。第一步，只考虑食用鱼，不考虑掠肉鱼的存在，并假定食用鱼本身竞争不激烈。因此食用鱼的增长应遵循马尔萨斯生物总数增长定律：a 为常数且 a0,axxtdx第二步，考虑掠肉鱼的存在，食用鱼的生长将减缓其速度，此时食用鱼的增长满足方程0,bbbxyaxdtdx为常数且掠肉鱼的增长可作类似的讨论：因而得(1)dx dtaxbxydy dtcydxy 方程组(1)就是当不存在渔业活动

4、时，掠肉鱼和食用鱼相互影响的方程组。(1) 方程组(1)有两个平衡解（无实际意义） 0)(0)( tytxbatydctx另外还有两个解x tx e y tct( ) ( ) 0 0x t u ty eat( ) ( ) 00由上可知，x 轴和 y 轴都是(1)的轨线，由唯一性知，当 t=t时，由第一象限 x 0，y 00 出发的每一个解 x(t)，y(t)，当 tt时都保持在第一象限内。0当(x, y)(0,0)时，方程组(17.44)可变为(2)dy dxcydxy axbxyycdx x aby aby ydycdx xdx () ()aybycxdlnlnxK ln两端取指数函数，得

5、(3)y eabyx eKcdx其中 K 为常数，这是方程组(1)的解(1) (3)式是一个周期解，只要证明解所定义的积分曲线是封闭的即可定理 1 当 x, y 0 时，方程定义了一组封闭曲线y eabyx eKcdx证明 令 f(y)=，g(x)=y eabyx ecdx我们讨论当 x, y 0,时，f(y)和 g(x)的形状对于 f(y)=：有 f(0)=0，f()=0，y0 时，f(y)0，且有y eabybyabyaaebyay ebyayyf)()(11所以 f(y)有唯一的驻点 y=a/b，当 y=a/b 时，f(y)取得最大值 M，f(y)的图yaa be 2形如图 17.12同

6、理，在 x=c/d 处，g(x)取得最大值 M，g(x)的图形如图 17.13xc cc de 由以上分析可知：(i) 当 K时，方程(3)无 x,y0 的解MxMy(ii) 当 K=时，方程(3)具有唯一解 x=c/d，y=a/bMxMy因此我们只需考虑下面的情形(iii) 当 K=时，0a/bxxxmm1212且有， baxymxx )(lim1baxyMxx )(lim2图 3.12图 17.13f(y)y0 a h0g(x)xc dg(x) f(y)图 17.12因此，当 x,y0 时，方程(3)所定义的曲线都是封闭的其形状如图 17.14这些封闭 曲线中的每一条(除 x=c/d,y=

7、a/b 外)都不含(17.44)的任何平衡点，所以方程组(1)的具有 初始条件 x(0)0，y(0)0 的所有解 x(t)，y(t)都是时间 t 的周期函数即 x(t+T)=x(t),y(t+T)=y(t) 其中 T 是某一个正数在前面掠肉鱼的百分比数据实际上用的是掠肉鱼在一年中的平均值，要算出方程组(1) 的解 x(t),y(t)的平均值，可以利用定理 2(尽管未解出 x(t)，y(t)。定理 2 设 x(t)、y(t)是方程组(1)的周期解，其周期 T0，x 和 y 的平均值定义为， xTx t dtT10( )yTy t dtT10( )这时，即 x(t)和 y(t)的平均值是平xc d

8、/ya b/衡解。证明 对方程组dx dtaxbxydy dtcydxy 中的第一个方程两端同除以 x，得 1 x tdx taby t dt( )( )( )两端同除以周期 T，并在区间0,T上积分得TTTTdttbyTadtTdttbyaTtxtdx T00000)(11)(1 )()(1因为 左端11000Tdx t x tTx TxT( ) ( )ln ( )ln ( )因此， 1100Tby t dtTadtaTT( )故 yTy t dta bT10( )同理可得 xc d如果以平衡点，xc d/为中心用过 x 轴和 y 轴的直ya b/线将 x-y 平面的第一象限分为四个区域根据

9、这些区域中和的符号，xy可以分析食用鱼和掠肉鱼增减变化情况， 如图 17.15 所示图 17.14 0yya bxMc dxmx00 yxa b0c dx00 yx00yx00 yx由上讨论可知，如果食用鱼的食物很丰富，它们之间不发生竞争，以及不考虑捕鱼的 影响，只考虑食用鱼和掠肉鱼之间的关系，可 以得出食用鱼大量增加时，掠肉鱼由于有了丰 富的食物将大量增加。掠肉鱼的大量增加要吞吃大量的食用鱼，此时食用鱼就急剧减少； 由于食用鱼的减少，掠肉鱼就会因缺乏食物而大量死亡；由于掠肉鱼的减少，食用鱼就大 量增加，如此循环反复，因而其解呈现周期性。下面考虑渔业对于掠肉鱼和食用鱼关系的影响：一般情况下，捕

10、鱼使得食用鱼总数以速率减少，而使得掠肉鱼以减少，常x t ( )y t ( )数反映渔业水平，即反映海上的渔船数和下水的网数修正前面的数学模型得微分方程 组(4) dxyycydxycydtdybxyxaxbxyaxdtdx)()(当时，方程组(4)与方程组(1)完全一样，只是其中 a 换成，c 换成a 0a 此时，x(t)和 y(t)的平均值为c ， (5)xc dya b这个结果说明中等捕鱼量时，实际上会增加食用鱼的数目，减少掠肉鱼的数目。a反之，如果降低捕鱼量，平均说来，反而会增加掠肉鱼的数目，减少食用鱼的数目。这就 是沃特拉原理：为减少强者，只需捕获弱者。如果表示掠肉鱼吃食用鱼的系数

11、b 增大，显然掠肉鱼的平均值也减少。yab() /这表明强者如要维持一定的数量，必须限制自己消灭弱者的能力。 沃特拉原理在施用杀虫剂方面有着独特的应用，杀虫剂不但可以杀死害虫，同时也可 杀死益虫。因此不能滥用农药，否则会适得其反，不但控制不了害虫反而使害虫的总数增加，读者从(17.47)式和(17.48)式中很容易得出上面的结论。 11习题 17.51 在许多情况下，掠夺者攻击的对象主要是成年的被掠夺者，而未成年者或者因为体积小或者因为生活在不同地点而受到较好的保护设 x是成年的被掠夺者的个数，x1是未成年的被掠夺者的个数，y 是掠夺者的个数，试建立模型并求其平衡解22 在马来亚的科莫多岛上栖居着巨大的食肉爬虫和一些哺乳动物，又生长着丰富的 岛生植物，食肉爬虫吃哺乳动物，哺乳动物吃植物假设食肉爬虫对于植物没有直接影响， 植物本身存在着生存竞争，试建立模型并求其平衡点3 在加拿大草原地带有许多兔子，同时还有许多大山猫，大山猫吃兔子，不考虑其 他动物的干扰，试建立大山猫和兔子相互作用的数学模型图 17.15