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1、非线性分析弧长法的读书报告1.弧长法的原理弧长法属于双重目标控制方法， 即在求解过程中同时控制荷载因子和位移增量的步长。其基本的控制方程为：222lPPTT（1）式中：为荷载因子增量数值为荷载比例系数，用于控制弧长法中荷载因子增量所占的比重l为固定的半径在求解过程中，荷载因子增量在迭代中是变化的，下列非线性静力平衡的迭代求解公式中存在n 个未知数，即j ij ij ij iFPK11210 ，i（2）这样，在弧长法中一共存在1n个未知数，根据约束方程：222lPPTT即为附加的控制方程， 问题才能得到解答， 此时，可以根据值的取值分为两种弧长法，其中，0时的弧长法称为球面弧长法，0时的弧长法称
2、为柱面弧长法。1.1 球面弧长法如下图所示，根据图中所示来说明弧长法的求解策略：在第j步荷载增量第i次迭代分析中，结构的位移增量1j i可由式（ 2）来计算，即)()()()()()()()()(1 11111111 1PKKPKFPPKFPKj ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij i （3）由于刚度矩阵不对称以及带宽被改变，通常情况下直接联立求解式（1）和式（3）中1n个变量相当困难。通常，将式(3)中1j i分解为两个部分，即j ipj ij igj i1111（4）式中，)()(1 1j ij ij igK（5）说明j ij 1的第一项j
3、ig 1为采用荷载控制的标准切线刚度迭代求解的结果；PKj ij ip1 1)(（6）说明j ij 1的第二项j ip 1为考虑荷载P下按当前结构刚度)(j iK计算出来的位移增量。至此，式 (4)中仍有j i 1为未知量，现在只有借助控制方程（1）来求解。第i次迭代结束后相应于迭代初始点（上图中1j点）的位移增量1i为11iii(7) 将（7）式代入控制方程（ 1）式，并考虑迭代前后弧长保持不变，故得到：)()(22 111222PPPPlTj ij iTj iTj ij iTj i(8) 式中：j i与j i 1分别为第i次迭代前后荷载因子相对于迭代初始点（上图中1j点）的增量，它们有如下
4、关系：j ij ij i11(9) 将(4)代入(9)中，可得：（10）式中：2 11ppATj ipTj ip2)(22 11ppBTj ij igj iTj ip222 11)()()(lppCTj ij igj iTj igj i由此，可通过解上述一元二次方程得到何在因子的增量j i 1，从而进一步确定当前的荷载水平和位移向量，即j ij ij ijj i1101(11) 1101j ij ij ijj i(12) 1.2 柱面弧长法经过研究发现， 荷载比例系数对于最终分析结果的影响是有限的，尤其是结构非线性成都较高时，这种影响甚微。令0，从而减少程序中的未知数和提高求解效率。于是把从原
5、先所谓的“球面弧长法”简化为“柱面弧长法” ，结构的控制方程则简化成：2lT（13）0)(12 1CBAj ij i同理可得： (10)中关于j i 1的一元二次方程式中的系数可以简化成: j ipTj ipA11)(211j igj iTj ipB2 11)()(lCj igj iTj igj i由上式求解出两个根，从而得到两个位移增量，即：jipj ijigj iji1111)(（14）jipj ijigj iji1111)(（15）为了保证迭代方向尽量保持一致， 可以根据两次迭代结束时的位移增量j i和j i 1的夹角最小准则来判断到底哪个更合适。两个向量之间的夹角可以按照下式确定：21
6、11 21cos lljipj ijigj iTj ij iTj i （16）将一元二次方程求出的两个解分别代入上式求出各自的夹角，夹角小的的荷载因子增量为所求的值。可按照式（11）和（12）更新结构的荷载水平和位移向量。1.3 弧长法的简化形式上述弧长法的求解过程，需要求解一元二次方程，计算量大，因此，为简化计算，提出了另一种控制方程， 用垂直于迭代向量的平面代替圆弧，把弧长不变的条件改为向量j ir与向量j iu1始终保持正交，即满足下列控制方程：01j ij iur),321(ni，（17）写成矩阵形式为011PPTj ij ij iTj i与前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得11
7、 1PPTj ij ipTj ij igTj ij i相比之下，用上式求解j i1容易多了，其余步骤完全同上述相关内容。1.4 弧长法的求解步骤（1）对于第 1 个增量步 (1j)第 1 次迭代(1i) 分析, 选定参考荷载P，即确定了初始弧长增量l。（2）输入期望迭代次数0n；如果采用球面弧长法，则输入荷载参与比例系数。（3）存储结构初始切线刚度。（4）在第j次增量步分析中，迭代流程如下。 求解出1j。 记录迭代次数1jn，对结构刚度矩阵进行三角分解或计算“当前刚度系数”以判别矩阵是否正定。 更新结构的变形向量j i，计算结构的恢复力箱梁)(j iF和非平衡力向量)(j i。 如果采用切线刚
8、度迭代技术，则要根据当前结构的变形向量更新结构刚度矩阵；如果采用初始刚度迭代技术，则只需在每次增量分析中的初始迭代中根据上一次增量结束时的结构位移向量来更新结构刚度即可，在增量步中不用更新。 计算j ig 1和j i 1p，若采用初始刚度迭代技术，j i 1p在整个增量步迭代中为定值，不必重复计算。 求解荷载因子增量j i 1。 按式（ 4）计算1j i，由式（ 11） 、 （12）更新当前的荷载水平j i 1和位移向量1j i。 收敛性判别。如果满足收敛准则，则终止当前增量步下的迭代进城，记录迭代次数1jjnn进入步骤；如果不满足收敛准则，则需要继续迭代，记录迭代次数1jjnn，令1ii，重
9、复步骤 判别当前荷载水平是否达到期望值或超过一定的增量步数。如是，则分析结束，输出数据；如不是，则令1jj，更新结构切线刚度矩阵，计算当前增量步中的弧长增量jl，返回步骤。2.弧长法的适用范围弧长法适用性很强，收敛性和稳定性明显好于其他处理负刚度问题的方法，它既可以用于加工软化结构， 也可以适用于加工硬化结构， 在非线性程度较高的体系应优先考虑采用该方法。 但是该方法的计算量很大， 对一般非线性问题， 还是建议选择其他简单的方法。3.弧长法的评述（1）弧长法属于双重目标控制方法，即在求解过程中同时控制荷载因子和位移增量的步长，从理论上来说，任何方法都应在极值点附近存在刚度奇异的问題，但是控制位
10、移法和弧长法中， 迭代点正好落在极值点附近的概率很小，在现实中很难遇见，除非遇到非线性程度很高的结构体系。在分析混凝土开裂的加工软化问題时，偶尔也会在运用弧长法时出现一些问題，如在应用球面孤长法时得不到方程式的实数解，或应用柱面弧长法时在临界点附近发散，找不到交点。（2）弧长法属于自动步长法，只要给出一些控制参数，步长由程序自动计算，此方法为当前的主流计算方法。（3）弧长法中的荷载增量预测因子只是初步控制当前荷载增量步的迭代过程，不能完全准确估计结构迭代结束时的荷载水平，结构最终的荷载水平是迭代结束后的数值。4.参考文献1 何政，欧进萍.钢筋混凝土结构非线性分析M. 哈尔滨工业大学出版社,2007. 2 向天宇，赵人达，刘海波. 将弧长法应用于结构的几何非线性有限元分析J.铁道学报,2003.6,(2). 3 向天宇，赵人，刘海波.混凝土结构全过程非线性分析的弧长法研究J.铁道学报 ,2002,(3). 4 江见鲸 .钢筋混凝土结构非线性有限元分析M. 陕西科学技术出版社,1994.
