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1、第 1 页柯西准则及其应用柯西准则及其应用摘摘 要：要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并0xx详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用关键词：关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，即0xx设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数( )f x
2、0 0(;)Ux00()lim xxf x 0(，存在正数(，存在正数(存在使得当时有0()nxx n ，0，N0，n m，N0 0(; )nmxxUx，第 2 页从而有()()nmf xf x于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即()nf xA()limnnf xA 设另一数列且，则如上所证，存在，记为现证 0 0(;)nyUx0limnnyx ()limnnf y B，为此，考虑数列BA 1122,nnnzx y xyxy：易见且，故仍如上面所证，也收敛于是，作为 nz0 0(;)Ux0limnnzx ()nf z的两个子列，与必有相同的极限，所以由归结原则推()nf z
3、()nf x()nf y得0( )lim xxf xA 证毕定理定理 1.2 设函数在内有定义存在的充要条件是：任给，f0 0(;)Ux00()lim xxf x 0存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：M0f()U ( )lim xf x 任给，存在正数，使得对任何，均有，设函数在内有定义存在的充要条件是：M0f()U ( )lim xf x 任给，存在正数，使得对任何，设函数在内有定义存在的充要条件是：M0f( )U ( )lim xf x 任给，存在正数，使得对任何，均有01()MM1xxM ，( )()f xf x定理 1.5 的证明可以类似前面 4 个定理的证
4、明2 归纳柯西准则在数学分析中的应用归纳柯西准则在数学分析中的应用2.1 柯西准则在实数完备性理论中的应用柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理2.1.1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证证 设为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得S为的上界，而不是的上界，即存在，使 S(1)SS得(1) 分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而112nn，nn
5、nS不是的上界，故存在，使得1nnSaS （1）1nan 又对正整数，是的上界，故有结合（1）式得；同理有mmSma1nmn从而得1mnm1 1max(,)mnm n于是，对任给的，存在，使得当时有00N mnN，mn由柯西收敛准则，数列收敛记 n第 6 页 （2）limnn 现在证明就是的上确界首先，对任何和正整数有，由(2)式得，SaSnnaa即是的一个上界其次，对任何，由及(2)式，对充分大的同时有S010()nn n1 22nn，又因不是的上界，故存在，使得结合上式得1nnSaS1nan 22a 这说明为的上确界 S同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界S2.1.2 用平面点列收
6、敛的柯西准则证明闭区间套定理证证 在闭域套的每一个闭域内任取一点，构成一个各点各不相同的平面点列 nDnDnP，则对一切自然数，由于，以， nPPnpnDD1,0(,)0()nnpnnnnP PDP Pdn 因此由定义任给，存在正整数，使得当时，对一切自然数(,)0limnnpnpp0NnN，都有，根据柯西准则收敛，记P(,)nnppp nP0limnnPP 现证为此任意取定则因为对一切自然数都有012nPDn，n，12p ，由定义知是的聚点，而闭域必为闭集，所以它的聚0limnpnpnnppPDDPP，0PnDnD点012nPDn，最后证明的唯一性，若还有则由于，0P012nPDn，10(,
7、)0 ()nnnP Pdn 所以0000(,)0PPPP，2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列收敛有 na0NNmnN ，mnaa 数列发散使得 na00NNmnN ，0mnaa例例 1 应用柯西收敛准则，证明数列收敛 na222111123nan 第 7 页证证 对取，则对，有 0 ，2N nmN 222111 (1)(2)nmaammn111 (1)(1)(2)(1)m mmmnn112 mnm而由知，故由柯西收敛准则知数列收敛2m2 mn
8、maa ， na2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用柯西准则在函数极限存在性判定中的应用不存在的充要条件是：，对，都存在，使得00()lim xxf x 000xx0 0(; )Ux0( )()f xf x例例 2 证明极限不存在 01sinlim xx证证 可取，对任何，设正整数，令0101n112xxnn ，则有，而于是按照柯西准则，极限不存在0(0; )xxU，011sinsin1xx 01sinlim xx2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分的敛散性是由变上限函数存在与否确定的因此，( ) af x
9、 dx( )limtatf t dt 可由函数极限存在的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则：( )lim xf x ( ) af x dx无穷积分收敛有( ) af x dx120GauuG ，21( )uuf x dx同理，由函数极限存在的柯西准则可直接推出瑕积分（a 为瑕点）收0( )lim ttf x ( )baf x dx敛的柯西准则：瑕积分（a 为瑕点）收敛有( )baf x dx1200,uua a ，21( )uuf x dx例例 3 设在上连续可微，并且如果(当时)，( )f x0,20( )fx dx ( )fxC0x 第 8 页其中为一常数试证：C( )0lim xf x
10、证证 （反证）假设，则使对，总有( )0lim xf x 00 ，0GAxG，()Af x因为在上连续可微，故在上一致连续，于是，使( )f x0,( )fxc f0,0当时，0,xxxx，0( )()2f xf x又因收敛，故时，当时，20( )fx dx0M12xxM，2120( )2xxfx dx ，对该，存在，故，M0x00(,)(,)xxM0()f x当时 00(,)xxx0( )()2f xf x00 00000( )( )()()()( )()22f xf xf xf xf xf xf x矛盾20( )4fx00200( )242xxfx dx ( )0lim xf x 2.2.
11、4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数的敛散性是由其前项和数列的敛散性确定的所以，由1n nun 1nnk kSu收敛的柯西准则直接可得级数收敛的柯西准则： nS1n nu收敛有1n nu0NNmNpN ，12mmmpuuu例例 4 级数收敛的充要条件是：对任意的正整数序列都有1n na12nrrr，12()0limnnnn rnaaa证证 必要性 因为收敛，所以对当及有1n na,NN nNpN 第 9 页12nnnpaaa特别地12nnnn raaa所以12()0limnnnn rnaaa充分性 用反证法若发散，则及自然数，使1n na000NnN ，
12、p10nnpaa特别及自然数使1111Nn，1r11110nnraa，及自然数，使2122max2NnnN，2r12210nnraa这与矛盾12()0limnnnn rnaaa所以级数是收敛的1n na例例 5 应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛21 n证证 由于12mmmpuuu22211112mmmp 111 1121m mmmmpmp11 mmp1 m因此，对任给，取，使当及对任意正整数，由上式就有 01N mNp121mmmpuuum第 10 页依级数收敛的柯西准则推得级数是收敛的21 n2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛
13、性判定中的应用由数列收敛的柯西准则易推得函数列一致收敛的柯西准则：( )nfx函数列在上一致收敛有( )nfxD0NNmnNxD ，( )( )mnfxfx 又因为函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的一1( )n nfx1( )( )nnk kSxfx致收敛性确定的所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：在上一致收敛 当时，有 1( )n nfxD0NN ，nNpNxD ，12( )( )( )nnnpuxuxux进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法例例 6 证明：若对，有且收敛，则函0nnNaxI ，1( )( )nnnfxfxa1n na数列在区间上一致收敛( )nfx证证 ，npNxI ，11( )( )( )( )( )
