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1、东海科学技术学院毕业论文 1 径向函数的积分公式及其应用径向函数的积分公式及其应用 陈建亮 （东海科学技术学院 数理与信息系，浙江 舟山 316004） 摘要摘要 ：径向函数是一种非常特殊的函数，具有本质上的一维性，通过径向映射将任意 高维问题转化为一维问题，从而高维问题处理中的繁琐、冗长的计算得到避免基于球坐 标变换和球面面积公式（用 Gamma 函数表示） ，本论文推出径向函数的积分公式，利用该公 式得到了一些多重积分问题的简单计算方法 关键字关键字 ：径向函数；球坐标变换；积分公式 The Radial Function Integral Formula and Its Applicat
2、ion Chen Jianliang (Donghai Science Spherical Coordinate Transformation; Integral formula; 东海科学技术学院毕业论文 2 1.1. 前言前言 重积分的具体计算十分繁琐，数学分析中，直至大型的工程计算中都会涉及到大量的重 积分的具体计算，因此简化积分是十分必要的重积分的具体计算除了跟函数的具体表现形 式有密切关系之外还与积分区域的形状存在紧密关系，基于此，产生了各种积分变量变换方 法，例如：极坐标变换，球坐标变换，柱坐标变换等 本文在测度和积分的意义下研究径向函数的积分，基于球坐标变换和球面面Lebesgu
3、e 积公式（用函数表示） ，本论文推出径向函数的积分公式利用该公式得到了一些Gamma 多重积分问题的简单计算方法由于可积的函数必定可积，因此在RiemannLebesgue 积分意义下研究积分是有意义的所以数学分析中的许多重积分问题可LebesgueRiemann 以利用公式加以简化，具体见例子：计算 22 1 D d I xy 其中为圆域：D 22 1xy 外测度和外测度构成了积分的测度，由于外测度和内测度具有次可加性和距Lebesgue 离可加性，因此是可测集对于定义在可测集上的函数，若对于任意的实数 ，点集 f xt 是可测集，则是上的可测函数，因此在上可积在径向函数中利 f xE f
4、 xELebesgue 用积分变换，进行球坐标变换并求出球面面积公式，从而得出径向函数的积分公式的积分公 式 由于可积，由可积则可积，所以 22 1 D d I xy RiemannRiemannLebesgue 可积，因此根据径向函数积分公式得出 22 1 D d I xy Lebesgue2I 东海科学技术学院毕业论文 3 2.2.LebesgueLebesgue 测度与积分测度与积分 2.12.1 LebesgueLebesgue 测度测度 定义定义 2.1.12.1.11设是中一点集，, ,是中一列开长方体，且E n R 1 I 2 I n I n R ，则确定一个非负的数 (或)，所
5、有这样的数组成的数集显然是下 1 n n EI U 1 n n I a+a 方有界的，因此有下确界，则称此下确界为的外测度，记作E * 1 inf n n m EI 外测度有下列四个基本性质： （1）非负性：；，则有； * 0m E E * 0m E （2）单调性：如果,则；AB * m Am B （3）次可加性 * 11 nn nn mAm A U （4）若 A、B 之间的距离.则,0A B * mABm Am BU 定义定义 2.1.22.1.21 设是中一点集， 是包含的长方体：, ,是中E n RIR 1 I 2 I n I n R 一列开长方体，且，则称此上确界为的内测度，记作 1
6、n n IEI UE * 1 inf n n m EII 由内测度的定义可知： （1）因为得上确界是对所有包含的开长方体取得的，且显然 1 n n II I-E n I 的值越小，的值越大所以有 1 n n I 1 n n II * 11 supinf nn nn m EIIIIImIE (2)内测度也具有和外测度基本相应的一些简单性质 东海科学技术学院毕业论文 4 定义定义 2.1.32.1.31 设是 n R 的有界集，若，则称为有界可测集此时并称E * * m Em EE 的外测度值（或内测度集值）为的测度，记作EE * * mEm Em E 定义定义 2.1.42.1.4 设是无界点集
7、，若对任何长方体 ，都是有界可测集，则称为EIEIIE 无界可测集 有界和无界两种可测集统称为可测集 2.22.2 LebesgueLebesgue 积分积分 定义定义 2.2.12.2.13 设是定义在可测集上的广义实值函数若对于任意的实 f x n ER 数 ，点集是可测集，则称是上的可测函数t :xEf xt f xE 定义定义2.2.2.22.23设是可测集，,: 是有界可测函数， n ERmE fER ,Af xBxE 在之间插入分点,A B , 01n A= y a f x, a nR f x, a n 而在上可测，根据引理，有 f x n= n1 ,a na U , 1, 1 a
8、 ii l n Lf x dxLf x dx = , lim a nn Lf x dx = lim n an Rf x dxA 即 ,a a Lf x dxRf x dx 定理定理5.1.35.1.3 设为上的函数，且广义 绝对可积，则 f x,EaRiemann 东海科学技术学院毕业论文 12 在上可积， f x, a Lebesgue 5.25.2 应用应用 例例5.2.5.2.1 1 计算 22 1 D d I xy 其中D为圆域：. 22 1xy 解: ， 22 .|1x y xy D Ifx dx 根据推论 4.4.1得 1 0 If r rdr 根据公式1得 2/1 所以 = 1
9、2 0 2/1 1 rdr I r 2 例例5.2.25.2.2 计算，其中D为圆域： 22 xy D Ied 222 xyR 解： , 22 .|x y xyR D Ifx dx 根据推论 4.4.1得 0 R If r rdr 根据公式1得 2/1 2 0 2/11 R rR Ie rdre 例例5.2.35.2.3 求n维球体的体积. 2222 12 : nn VxxxR n V 解： 2222 12 12 n n xxxR Vdx xx 2212 nn xRR xdx xx 东海科学技术学院毕业论文 13 1 0 R n d 当时2nm 2/ m m 2 2/ 2 m m R Vm m
10、 2 ! m m R m 当时21nm 21 2 21 2/ 2 m m 2121 2 21 2/ 212 mm Rm V m 21 22 21 ! m m R m 所以 2 21 ,2 ! 22 ,21 21 ! m m m m R nm m V R nm m 例例5.2.45.2.4 证明反常二重积分 22 xy D ed 收敛，其中D为第一象限部分，即.0,) 0,)D 证：设是以原点为圆心半径为的圆与的交集，即该圆的第一象限部分。 R DRD , 0,) 0,) 1 4 D D Ifx dx 根据推论 4.4.1得 0 1 4 R If r rdr 根据公式1得 2/1 22 0 1
11、2/11 44 R rR Ierdre 东海科学技术学院毕业论文 14 所以 22 2 limlim1 44 R xy R RR D ee 所以收敛。 22 xy D ed 东海科学技术学院毕业论文 15 小结小结 由于 Rimann 可积则 Lebesgue 可积，在径向函数中我们通过引入 Lebesgue 测度和积分， 通过积分变换求出球坐标变换和球面面积公式，从而求出径向函数的积分公式，对径向函数 中的一些复杂的积分问题进行简化运算 东海科学技术学院毕业论文 16 参考文献参考文献 1周民强. 调和分析讲义（实变方法）M. 北京：北京大学出版社.1999. 05. 2陆善镇,王昆扬.实分
12、析M. 北京：北京师范大学出版社. 1997. 08. 3周民强. 实变函数. 北京：北京大学出版社. 2006.08. 4E.M.Stein.Singular Integral and Differential Properties of FunctionsM. New Jersey. Princeton University Press. 1970. 5华东师范大学数学系编写. 数学分析M. 北京：高等教育出版社. 2004. 01. 6复旦大学数学系编写. 数学分析M. 北京：高等教育出版社. 2004. 01. 7裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社. 200
13、6.04 东海科学技术学院毕业论文 17 致谢致谢 本人在撰写论文的过程中, 得到了许多老师和同学的热心帮助. 这次论文的成功撰写, 凝结了我四年大学生涯的心血. 感谢四年来各位老师对我的教育和培养, 特别是朱增晖、 赵向青老师对我的悉心指导和严格要求, 他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽 的启迪, 使我完成了论文的研究工作, 提高了论文的写作水平和研究问题的能力. 在此, 向赵老师表示衷心的感谢. 我还要向我的同组同学表示感谢, 谢谢你们在论文的写作过程中帮助我. 我也要感谢我 的同学特别是室友四年来对我学习、生活上给予的关心和帮助. 是你们是你们的团结友爱使 我不断奋发向上, 收获颇丰.
