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1、2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,1,第6章 虚功原理和结构的位移计算, 本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在位移计算中的应用；了解线弹性体系的互等定理。, 本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动、温度变化和制造误差而产生的位移计算，特别是用图形相乘法计算梁和刚架的位移。, 本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体系的虚功原理及其证明 。,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,2,本章内容简介,6.1 概述 6.2 变形体系的虚
2、功原理 6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法 6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6.5 图形相乘法 6.6 静定结构由于支座移动引起的位移计算 6.7 静定结构由于温度变化引起的位移计算 *6.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 6.9 线弹性体系的互等定理,第6章 虚功原理和结构的位移计算,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,3,6.1 概述,6.1.1 结构的位移(Displacement of Structures),在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移。,2018年9月8日星期六,佳木
3、斯大学建筑工程学院,4,6.1.1 结构的位移,6.1 概述,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,5,3.一个微杆段的位移,6.1 概述,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,6,式中，e 为轴向伸长应变， 为平均剪切应变，k为轴线（ ， R为轴线变形后的曲率半径）。,3.一个微杆段的位移,6.1 概述,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,7,对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有,式中，FN、FQ、M分别为轴力、剪力、弯矩；EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面 =1.2，圆形截面 =10/9，薄壁圆环
4、形截面，工字形或箱形截面 =A/A1（A1为腹板面积）。,3.一个微杆段的位移,6.1 概述,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,8,6.1.2 结构位移产生的原因,6.1 概述,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,起拱高度,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,9,6.1.3 结构位移计算的目的,1）从工程应用方面看主要进行结构刚度验算。,2）从结构分析方面看为超静定结构的内力分析（如第7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。,3）从土建施工方面看在结构构件的制作、架设等过程中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施 工措施，确保安
5、全和质量。,4）从后续专题方面看在结构力学的两大课题，即结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。,6.1 概述,铁路工程技术规范规定:,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,10,6.1.4 结构位移计算的方法,2.虚功法,计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的，所导出的单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适合于各种结构；
6、还解决了重积分法推导位移方程较烦且不能直接求出任一指定截面位移的问题。,6.1 概述,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,11,复习功的概念,P,A,P,常力作的功,力偶作的功,d,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,12,6.2 变形体系的虚功原理,6.2.1功(Work)、实功(Real Work)和 虚功(Virtual Work),2.静力荷载所做的功,静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。,所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。,2018年9月8日星期六,
7、佳木斯大学建筑工程学院,13,3. 常力所做的虚功,所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。,实功,6.2.1 功、实功与虚功,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,14,32 变形体的虚功原理,位移的双脚标符号,A,B,FP1,1,2,6.2 变形体系的虚功原理,6.2.1 功、实功与虚功,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,15,32 变形体的虚功原理,1. 外力虚功、广义力及广义位移,外力的虚功,实功：力在本身引起的位移上作的功。,虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无
8、关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。,考察力作功的过程静力加载：0P,虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。,虚功是代数量，有正有负。,6.2 变形体系的虚功原理,FP1在12上做的功,W12是力FP1在另外的原因（FP2）引起的位移上所做的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力，故在计算式中没有系数“1/2”。,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,16,对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即,式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可以是单个力、单个
9、力偶、一组力、一组力偶等。是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。,6.2.2 广义力和广义位移,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,17,32 变形体的虚功原理,作功的两因素,力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移统称为广义位移,虚功的两种状态力状态位移状态,6.2 变形体系的虚功原理,6.2.2 广义力和广义位移,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,18,6.2.3 刚体体系虚功原理,刚
10、体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零 。,6.2.4 变形体的虚功原理,1.关于原理的表述,变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和。,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,19,6.2.4 变形体的虚功原理,或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚变形能）。,2.关于原理的证明,6.2 变形体系的虚功原理,(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）,2
11、018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,20,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,21,整个结构的总虚功为,或简写为,W总=W外+W内,由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对出现的，它们大小相等，方向相反；又由于虚位移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,22,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,23,6.2 变形体系的虚功原理,20
12、18年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,24,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,25,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,26,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,27,对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5）W=FP计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为,W外=SFPD,将有关W外和W变的计算式（e）和式（c）代入式（6-6），则平面杆件结构的虚功方程可表示为,（e）,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木
13、斯大学建筑工程学院,28,3.关于原理的说明,1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。,2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用。,6.2 变形体系的虚功原理,2018
14、年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,29,3）在推证式（6-6）时，没有涉及到材料的性质。因此，变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题，也适用于非弹性问题。,6.2 变形体系的虚功原理,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,30,6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,31,于是有,即得,（6-9 ),此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。,广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），
15、属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。,6.3.1 利用虚功原理计算结构位移,6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,32,6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法,应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功关系上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。,1）图示为求刚架K点沿i-i方向的线位移
16、时的虚拟力状态。,6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,33,2）图示为求刚架K截面角位移时的虚拟力状态。,3）图示为求刚架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。,4）图示为求刚架A、B两截面相对角位移时的虚拟力状态。,6.3.2 虚拟单位荷载的施加方法,6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法,2018年9月8日星期六,佳木斯大学建筑工程学院,34,5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。,6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。,
