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1、一、微分方程,第八章 微 分 方 程,第一节 微分方程的基本概念,二、微分方程的解,2018/9/8,1,定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，,一、微分方程,称为微分方程，,有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，,未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.,本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.,(1) y= kx, k 为常数；,例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数).,(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；,(3) mv(t) = mg - kv(t)；,2018/9/8,2,微分方程中出现的未知函
2、数最高阶导数的阶数，,称为微分方程的阶.,例如，方程 (1) - (3) 为一阶微分方程，,通常，n 阶微分方程的一般形式为,F(x, y, y, , y(n) = 0，,其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n) 是已知函数，,而且一定含有 y(n).,(4),(5),方程 (4) - (5) 为二阶微分方程.,2018/9/8,3,定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.,二、微分方程的解,若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，,且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).,当通解中的各任意常数都取特定
3、值时所得到的解，称为方程的特解.,例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，,因此，这个解是方程的通解；,如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，,得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.,2018/9/8,4,二阶微分方程的初始条件是,即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0，,一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.,求解某初值问题，就是求方程的特解.,用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件.,通常一阶微分方程的初始条件是,2018/9/8,5,
4、例 1 验证函数 y = 3e x xe x 是方程,y + 2y + y = 0,的解.,解 求 y = 3e x xe x 的导数，,y = - 4e x + xe - x,y = 5e x - xe - x,将 y，y 及 y 代入原方程的左边，,(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x = 0，,即函数 y = 3e x xe x 满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解.,2018/9/8,6,得 C = 2，故所求特解为 y = 2x2 .,例 2 验证方程 的通解,为 y = Cx2 (C 为任意常数)，并求满
5、足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.,解 由 y = Cx2 得,y = 2Cx,将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，,左边有 y= 2Cx，,所以函数 y = Cx2 满足原方程.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以 y = Cx2 是一阶微分方程,将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，,2018/9/8,7,一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y = y(x) ，,其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.,通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族，,特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线.,这就是微分方程的通解与特解的几何意义.,2018/9
6、/8,8,一、可分离变量方程,第二节 一阶微分方程,二、一阶线性微分方程,2018/9/8,9,一阶微分方程的一般形式为,F(x, y, y) = 0.,2018/9/8,10,一、可分离变量方程,例如：形如,y = f (x) g (y),的微分方程，称为可分离变量方程.,(1) 分离变量,将方程整理为,使方程各边都只含有一个变量.,的形式，,2018/9/8,11,(2) 两边积分,两边同时积分，得,故方程通解为,2018/9/8,12,例 1 求方程,解 分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,2018/9/8,13,例 2 求方程,解 分离变量，得,两边积分，得,化简得,20
7、18/9/8,14,另外，y = 0 也是方程的解，,因此 C2 为任意常数,中的 C2 可以为 0，,这样，方程的通解是,2018/9/8,15,例 3 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 满足初始条件 y(0) = 2 的特解.,解 将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,2018/9/8,16,化简，得,即,将初始条件 y(0) = 2 代入，,为所求之通解.,得 C = 3.,故所求特解为,2018/9/8,17,二、一阶线性微分方程,一阶微分方程的下列形式,称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.,其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.,左边的每项中
8、仅含 y 或 y，且均为 y 或 y 的一次项.,它的特点是：右边是已知函数，,2018/9/8,18,称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，,0，则称方程 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.,通常方程 称为方程 所对应的线性齐次方程.,若 Q (x),2018/9/8,19,1.一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,2018/9/8,20,例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.,解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,2
9、018/9/8,21,例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解.,解 将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件 y(1) = e 代入通解，,得 C = 1.,故所求特解为,2018/9/8,22,2.一阶线性非齐次方程的解法,设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，,将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程,则有,即,2018/9/8,23,因 y1 是对应的线性
10、齐次方程的解，,因此有,其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，,代入 y = C (x)y1 中，得,容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程,所以可以通过积分求得,2018/9/8,24,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程,的通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：,上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x)，,再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，称为常数变易法.,2018/9/8,25,例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.,解法一 使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是
11、一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,将 y 及 y 代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的解为,2018/9/8,26,于是，有,因此，原方程的通解为,解法二 运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,2018/9/8,27,则,代入通解公式，得原方程的通解为,2018/9/8,28,例 9 求解初值问题,解 使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,则与其对应的线性齐次方程,的通解为,2018/9/8,29,设所给线性非齐次方程的通解为,于是，有,将 y 及 y代入该方程，得,2018/9/8,30,因此，原方程的通解为,将初始条件 y(p) = 1 代入，得
12、C = p，,所以，所求的特解，即初值问题的解为,2018/9/8,31,一、二阶线性微分方程解的结构,第八章 微 分 方 程,二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,2018/9/8,32,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x
13、) 都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y，,且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项，,例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程.,而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.,2018/9/8,33,定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，,y = C1 y1 + C2 y2,仍为该方程的解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解，,与,所以有,其中 C1， C2 是任意常数.,则函数,2018/9/8,34,于是有,y +
14、 p(x)y + q(x)y,= 0,所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.,2018/9/8,35,定义 设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上的两个函数，,k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0，,其中 k1, k2 不全为 0，,如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，,使,在区间 I 上恒成立.,则称函数 y
15、1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关.,2018/9/8,36,即 y1 与 y2 之比为常数.,反之，若y1 与 y2 之比为常数，,则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0.,所以 y1 与 y2 线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数 y1 = ex，y2 = e -x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,2018/9/8,37,定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，,y = C1 y1 + C2 y2,是该
16、方程的通解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解.,又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，,故C1 与C2不能合并为一个任意常数，,因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中 C1, C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示.,2018/9/8,38,定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，,y = Y + y*，,是线性非齐次方程的通解.,证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x),
