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1、例：半径为R的大圆静止不动，半径为r的小圆沿大圆内侧做无滑滚动，小圆的角速度恒为， 求：(1)小圆绕大圆一周所用的时间。,解：无滑滚动 vc= r,C点绕O点一周所用的时间,求：(2)C点相对O点的加速度,解：C点相对O点做匀速圆周运动,求：(3)接触点A相对O点的加速度,由加速度变换公式：,O,C,A在同一直线OA上两加速度方向相同标量相加,例：质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下，设容器质量为M，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态，求：(1) 当小球沿内壁滑到容器底部的B点时，受到向上的支持力为多大？,由于小球相对于桌面轨迹较复
2、杂，而相对于容器，小球的轨迹仍为圆弧，取容器为参考系（非惯性系）,分析：容器未固定，可以滑动,要求B点的支持力，先求B点的向心力,为求B点速率，注意到小球+容器(+地球)组成的系统：,桌面参考系中，水平方向上不受外力，动量守恒,支持力不做功（与相对位移方向垂直，一对支持力做功之和为0）,只有重力做功，系统的机械能守恒,要求B点的向心力，先求B点的速率(相对于容器),解：根据水平方向系统动量守恒及下滑过程中系统机械能守恒,以B点为重力势能零点,其中vm, vM分别表示小球到达B点时小球、容器相对桌面的速度,现在以容器为参考系，求在B点小球相对容器的速度vm,容器参考系中，小球圆周运动的向心力,小
3、球运动到容器底部这一特殊位置时，,求：(2) 小球相对于桌面的运动轨迹在B点的曲率半径？,对容器没有水平方向的作用力，从而容器参考系的加速度为0，则容器参考系中的惯性力也为0。,由于在B点，容器参考系的加速度为0，小球在地面参考系中的法向加速度(小球速度水平向右)也为, 相对桌面,例：轨道上的小车质量为M，它下面用长为l 的绳子系一质量为m的砂袋。现有一质量为m0的子弹水平地射入砂袋内，而与砂袋一起运动，最大摆角为。若不计小车与轨道间的摩擦。 求：子弹射入时的速度v0,解：子弹+砂袋 完全非弹性碰撞,动量守恒,子弹+砂袋+小车, 上摆过程,最高点处三者具有共同的对地速度,水平方向动量守恒,只有
4、重力做功 (拉力为一对内力) ，,三式联立，可得,机械能守恒,例：如图所示，小车从A点自静止开始，沿路径AEDBCE运动。其中，半径为 r 的环形路径EDBCE内的DBC段为一缺口，而BOC=BOD= ，不计摩擦， 问：(1)当高度h=?时，小车才能越过缺口循上述路径运动？(2)要使h值为最小，角为几度？,解：小车越过DC时只受重力作用，故作斜抛运动。,如图建立坐标系，其轨道方程,设D点的速度为v，,要求D点抛出，C点落回，即斜抛轨迹经过C点,C点坐标：x=2r sin y=0,代人轨迹方程，得抛出速度为,低于此速度，小车落入圆内,高于此速度，小车飞到圆外,当高度h=?时，小车到D点的速度满足
5、,由以上两式，解得：,小车从点A滑到点D的过程中，斜面和环壁对小车的支承力N不作功，则由小车与地球组成的系统，其机械能守恒。,欲求h值最小时的角，即求极值,即,解得：,思考：小车在D点所受的环壁压力,临界问题,例：一质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑桌面上，在球顶有一质量为m的质点，由静止沿球面下滑。 求：(1) m脱离M前的轨迹，(2) m绕球心O的角速度。,解：要求的是m相对桌面的轨迹，以及m相对球心O的角速度,(1) 以桌面为参考系，建立坐标系Oxy，设m在某时刻t的坐标为(x,y),设O在t时刻的坐标为X，脱离前有：,由于桌面光滑，在水平方向上，m和M系统动量守恒,设m相对桌
6、面的水平速度为vx，M相对桌面的速度为V,即,结合初始条件：t=0时，x=0，X=0，两边积分, 轨迹方程为,或写为,可见，其轨迹为一椭圆，半长轴在y轴上，半短轴在x轴上。,(2) m相对于O作圆周运动，设其角速度为，则其绝对速度,解得：,桌面参考系中，只有重力做功，机械能守恒！,以桌面处为重力势能零点,代入解得：,(3) 若M=2.43m，求：m在什么位置处开始脱离半球？,m开始脱离半球的条件：,支持力为0,惯性系中,以M为参考系，是否仍然成立？,脱离的瞬时，M的加速度=,0,若M=2.43m，解得：cos=0.7, -3.5, 2.8 (后两者大于1舍去), 在=arccos0.7=45.
7、57处，m开始脱离半球。,这与M固定不动时的计算结果相同。即相当于M不动。,讨论：,若Mm,这表明，M一下子滑出，m竖直下落。,若MR)：,球体内(rR)：,球体内(rR)：,其在距离球心为r处产生的电场为：,无限大厚板，=kx，k为常量，求板内外的场强？,例：电荷体密度为+ 的均匀带电球体，若保持电荷分布不变，在其中挖去一个小球体，小球球心O相对O的位置矢量为 ，证明：腔内为匀强电场。,分析：电荷(电场)分布已不是球对称，无法直接用高斯定理。,补偿法：带正电大球+带负电小球,解：考察腔内任一点P处，,两球内P处,与P的位置无关,无限长空腔圆柱体，腔内为匀强电场,设OP=b，OP=d,例：在点
8、电荷q的电场中，取一个半径为r的圆平面，q位于其轴线上距离为d 处，求：通过圆平面的电通量。,r,R,q,分析：平面上各处与电场线夹角各异，考虑以q处为球心，半径为R的球冠面S的电通量。,解：由于球冠面上各处场强大小相同，方向即dS 的法线方向,d,O,球冠的面积,球面内包围一点电荷q，由高斯定理可知，整个球面的电通量为, 穿过球冠面的电通量(电场线条数)为,球冠面积S占整个球面积S0的比例为,解2：由于球面上电场线的疏密程度均匀(E大小相同)，可由面积之比求出电通量之比。,电势的计算, 一些常见均匀带电体的电势,均匀球面内(r R),点电荷、均匀带电球面(体)外,=面上电势，与r无关,平行板
9、电容器板间(匀强电场)电势差,无限长均匀带电直线、圆柱面(体)外,其中r0为电势零点到轴的距离(注意不能选在无限远处),无限长均匀圆柱面内,=面上电势，与r无关,例：在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，其上电荷均匀分布，电荷面密度为，A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(3R/2, 0)，求：电势差UAB,分析：由上下对称及电势叠加可知，半球面在Oxy平面上的电势就是完整球面的电势的一半。,解：将半球面扩展为完整球面,则面内(上)A点电势为,面外B点电势为,半球面，电势差,例：两个均匀带电的同心半球面如图相对放置，其半径分别为R1与R2，电荷面密度分别为s1和s2， 求：大球底面直径AO
10、B上的电势分布,分析：由对称性及电势叠加原理可知，半球面在AOB平面上的电势等于完整球面产生的电势的一半。,解：由均匀带电球面的电势分布,半个小球面在AOB上的电势,可以看出，在与小球面的底面重合的区域各点电势相等，而超出小球面底面的部分则与r有关。,则AOB上的电势分布为,半个大球面在AOB上的电势,若,则,例：地面上有一固定点电荷A，其正上方有一带电小球B，在重力和A的库仑斥力作用下，B在A的上方H/2H之间来回振动，求：B运动的最大速率。,分析：由于重力及库仑力均为保守力，所以机械能守恒。而所谓速率最大，即振动的平衡位置，受力为零处。,设在高度h处受力平衡,解：设A带电为Q，B带同号电荷
11、q，B质量为m，,平衡位置处机械能,运动范围为H/2H，这两处B的动能为0,联立可得,A,例：如图，接地导体球附近有一点电荷q,相距l 求：导体上感应电荷的电量,接地U=0，,解：设感应电量为q,球外没有其他带电体时,感应电荷分布在球面上，但不均匀,球面在球心的电势,任取球面上一块电荷元dq，其在球心处的电势为,接地意味着导体电势为零，不意味着电荷为零,球心的电势为0等势体,球心总电势, 电介质的极化,例：如图，均匀电介质球被均匀极化，极化强度为P， 求：极化电荷在球心产生的退极化场。,解：以球心O为原点，选与P平行的方向为z轴，建立如图的极坐标系,电介质球表面上的某球面元dS处的束缚电荷面密
12、度：,其中n为介质球表面的外法线方向,分析：本题极化电荷分布在球面上，,求(非均匀)带电球面在球心的场强，,已知极化强度P极化电荷面密度。,当q p/2 为负电荷,极化电荷分布关于z轴对称,整个球面上在球心的场强,方向如图,图中球面元dS在球心的场强,由对称性可知，球心处的退极化场的方向应该是水平向左,只需计算z分量：,例：在无限大均匀电介质内，挖一个半径为R的无限长圆柱形空腔，设腔外电介质被均匀极化，极化强度P 沿y方向，求：极化电荷在空腔轴线上产生的场强。,分析：此问题中极化电荷分布在圆柱面上，,求(非均匀)带电圆柱面在其轴线上的场强，,解：如图，将圆柱面分成许多无限长窄条，,已知极化强度P，则极化电荷面密度可求。,考察与y方向夹角为q，角宽度为dq 的窄条，,n为腔外介质表面的外法线方向,+ + + +,- - - -,介质,介质,介质分子,极化电荷分布关于yOz平面对称,q p/2 为正电荷,此线密度为dl的无限长带电直线在轴线上的场强大小,此窄条(直线)的极化电荷线密度,方向如下图,+ + + +,- - - -,介质,介质,与P同向，不是极化电荷在介质内的场强。,由于极化电荷分布关于yOz平面对称，其在空腔区域轴线上的总场强沿y轴方向，,
