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1、定积分的概念,前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。,重点,定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法,难点,定义及换元法和分部法的运用,基本要求,正确理解定积分的概念及其实际背景,记住定积分的性质并能正确地运用,掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，,并会用N-L公式计算定积分，,能正确熟练地运用换元法和分部积分法,正确理解两类广义积分概念，,并会用
2、定义 计算一些较简单的广义积分。,计 算定积分,实例1 （求曲边梯形的面积）,求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积,将其置于直角 坐标系下考察,o,x,y,a,b,A,B,m,n,问题归结为AmBbaA与AnBbaA 的面积之差,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示,曲边梯形面积的近似值为,
3、曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,（1）分割,问题,以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 a,b 为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 a,b 所走过的路程,归纳,它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）,解决方法：,通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求
4、一种特定和式的极限,类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）,这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念,定义,二、定积分的定义,记为,积分下限,积分上限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,解,例1 利用定义计算定积分,例2 利用定义计算定积分,解,在 0,1上连续，故f(x)在0,1上可积,为方便计，将 0,1n 等分，左侧取点,等比数列,证明,利用对数的性质得,极限运算与对
5、数运算换序得,故,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲
6、边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,定积分的实质：特殊和式的极限分、粗
7、、和、精,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,五、小结,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,思考题,练 习 题,练习题答案,对定积分的补充规定:,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,说明,定积分的性质,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,性质2,证,性质1+性质2 得：,推广：,即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,则,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3,性质5（非负性）,证,性质4,令,于是,性质5的推论：（比较定理
8、）,（1）,（2）,说明： 可积性是显然的.,解,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,解,性质6（估值定理）,积分中值公式,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,例4 设 f(x) , g(x) 在 a , b 上连续，证明,若在 a , b 上,则在 a , b 上,若在 a , b 上,若在 a , b 上,则在 a , b 上,证明,反证法,必有一点,不妨设 a x0 0 证明,证明,比较等式两边的被积函数知，,例12 设 f ( x ) 连续,解,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,
9、二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,推导,定积分的分部积分法,一、分部积分公式,解,令,则,例1 计算,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,证,设,例5 证明定积分公式,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,设 f ( x ) 连续,证明,证一,记,则,而,故,例6,证二,注意到,是 f ( t ) 的一个原函数,故,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题,应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是：反、对、幂、指、三,二、小结,思考题解答,练 习 题,练习题答案,广义积分,在前面所讨论的定积分事实上是有条件的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广：无穷区间上的积分无穷限积分，无界函数在有限区间上的积分无界函数积分或瑕积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论过的定积分称为常义积分。,
