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1、11 12.22.2 同角三角函数的基本关同角三角函数的基本关系系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点 同角三角函数的基本关系式思考 1 计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它答案 3 个式子的值均为 1.由此可猜想：对于任意角，有 sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得 sin y，
2、cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.思考 2 由三角函数的定义知，tan 与 sin 和 cos 间具有怎样的等量关系？答案 tan (x0)，tan (k，kZ Z)y xsin cos 2梳理 (1)同角三角函数的基本关系式2平方关系：sin2cos21.商数关系：tan .sin cos (k2，k Z Z)(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21 的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan 的变形公式sin cos sin cos tan ；cos .sin tan 1sin2cos21.( )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才
3、成立，即 sin2cos21.2sin2cos21.( ) 2 2提示 在 sin2cos21 中，令可得 sin2cos21. 2 2 23对任意的角，都有 tan 成立( )sin cos 提示 当k，kZ Z 时就不成立. 2类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度 1 已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例 1 (1)若 sin ，且为第四象限角，则 tan 的值为( )5 13A. B C. D12 512 55 125 12考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 D解析 sin ，且为第四象限角，cos ，5 1312 133tan ，
4、故选 D.sin cos 5 12(2)(2017绍兴柯桥区期末)已知0 且 cos 1，12 13是第一或第四象限角(1)当是第一象限角时，则sin ，1cos21(1213)25 13tan .sin cos 5 13 12 135 12(2)当是第四象限角时，则sin ，tan .1cos25 135 12类型二 齐次式求值问题例 3 已知 tan 2，求下列代数式的值(1)；(2) sin2 sin cos cos2.4sin 2cos 5cos 3sin 1 41 31 2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 (1)原式.4tan 2 53tan 6 1
5、1(2)原式1 4sin21 3sin cos 1 2cos2 sin2cos21 4tan21 3tan 1 2 tan21.1 4 413 212 513 306反思与感悟 (1)关于 sin ，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以 cos 或cos2转化为关于 tan 的式子后再求值(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为 1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以 cos2，构造出关于 tan 的代数式跟踪训练 3 已知2，计算下列各式的值sin cos sin cos (1)；3sin cos 2sin 3cos (2)sin22sin cos 1.考点
6、运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由2，化简，得 sin 3cos ，sin cos sin cos 所以 tan 3.(1)原式 .3 3cos cos 2 3cos 3cos 8cos 9cos 8 9(2)原式1sin22sin cos sin2cos211.tan22tan tan21322 3 32113 10类型三 三角函数式的化简与证明例 4 (1)化简：sin2tan 2sin cos .cos2 tan 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式sin2cos22sin cos sin cos cos sin sin4cos42
7、sin2cos2 sin cos .sin2cos22sin cos 1 sin cos (2)求证：.tan sin tan sin tan sin tan sin 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明7证明 右边tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin 左边，tan sin tan sin 原等式成立反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的
8、对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0 或1(右边0)左边 右边证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪训练 4 化简 tan ，其中是第二象限角1 sin21考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，
9、5 2 5sin .1cos25sin25 5123已知2，则 sin cos 的值是( )sin cos sin cos A. B C. D3 43 103 103 10考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 由题意得 sin cos 2(sin cos )，(sin cos )24(sin cos )2，解得 sin cos .3 104函数y的值域是( )1sin2xcos x1cos2xsin xA0,2 B2,0C2,0,2 D2,2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 y.|cos x| cos x|si
10、n x| sin x当x为第一象限角时，y2；当x为第三象限角时，y2；当x为第二、四象限角时，y0.5(2017四川成都树德中学期中)已知是第三象限角，且 sin4cos4 ，则 sin 5 9cos 的值为( )A. B C. D23231 31 3考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 A解析 由 sin4cos4 ，得5 9(sin2cos2)22sin2cos2 ，5 9sin2cos2 ，2 913是第三象限角，sin 0，则 .3 5sin cos2 1sin 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 4 25解析 由 cos
11、0 知是第三象限角，且 sin ，4 514故原式sin cos2 1sin sin 1sin21sin sin (1sin ).(4 5) (14 5)4 259已知R R，sin 2cos ，则 tan .102考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 3 或1 3解析 因为 sin 2cos ，又 sin2cos21，102联立解得Error!或Error!故 tan 或 3.sin cos 1 310在ABC中，sin A ，则角A .23cos A考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 3解析 由题意知 cos A0，即A为锐
12、角将sin A 两边平方得 2sin2A3cos A.23cos A2cos2A3cos A20，解得 cos A 或 cos A2(舍去)，1 2A. 311若 tan 3，则 sin cos ，tan2 .1 tan 1 tan2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 71 3解析 tan 3，3，1 tan sin cos cos sin 即3，sin2cos2 sin cos 15sin cos ，1 3tan222tan 1 tan2(tan 1 tan )1 tan 927.12已知 sin cos ，则 tan .521 tan 考点 运用基本关系式
13、求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 tan 1 tan sin cos cos sin .sin2cos2 sin cos 1 sin cos sin cos ，12sin cos ，525 4sin cos ，8，1 81 sin cos tan 8.1 tan 三、解答题13已知，求下列各式的值4sin 2cos 3sin 5cos 6 11(1)；5cos2 sin22sin cos 3cos2(2)14sin cos 2cos2.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由已知，4sin 2cos 3sin 5cos 6 11，解得 tan 2.4tan 2 3tan 56 11(1)原式 1.5 tan22tan 35 5(2)原式sin24sin cos 3cos2sin24sin cos 3cos2 sin2cos2 .tan24tan 3 1tan21 5四、探究与拓展1614若 sin cos 1，则 sinncosn(nZ Z)的值为 考点 运用基本关系式求三角函数值题
