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1、11 14.34.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数ytan(x)的周期.2.掌握正切函数ytan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法知识点一 正切函数的性质思考 1 正切函数的定义域是什么？答案 Error!.思考 2 诱导公式 tan(x)tan x，xR R 且xk，kZ Z 说明了正切函数的什么 2性质？答案 周期性思考 3 诱导公式 tan(x)tan x，xR R 且xk，kZ Z 说明了正切函数的什么 2性质？答案 奇偶性思考 4 从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？(0， 2)答案 是梳
2、理 函数ytan x的图象与性质见下表：(x R R且xk2，k Z Z)解析式ytan x2图象定义域Error!值域R R最小正周期奇偶性奇单调性在开区间(kZ Z)内都是增(k 2，k2)函数知识点二 正切函数的图象思考 1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间上的图象作法如下：( 2，2)(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆(2)把单位圆的右半圆分成 8 等份，分别在单位圆中作出正切线(3)描点(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)(4)连线，得到如图所示的图象(5)根据正切函数的周期性，把
3、上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数ytan x，xR R 且xk(kZ Z)的图象，把它称为正切曲线(如图所示)可以看出，正切曲 2线是被相互平行的直线xk，kZ Z 所隔开的无穷多支曲线组成的 23思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数ytan x，x的简图吗？怎样画？( 2，2)答案 能，三个关键点：，(0,0)，两条平行线：x，x.( 4，1)( 4，1) 2 2梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ Z 所隔开的无穷多支曲线组成的 21函数ytan x在其定义域上是增函数( )提示 y
4、tan x在开区间(kZ Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函(k 2，k2)数2函数ytan x的图象的对称中心是(k，0)(kZ Z)( )提示 ytan x图象的对称中心是(kZ Z)(1 2k，0)3正切函数ytan x无单调递减区间( )4正切函数在区间上单调递增( ) 2，2提示 正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x时，ytan x( 2，2) 2无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题4例 1 (1)函数y3tan的定义域为_( 6x4)考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的定义域答案 Error!解析 由 k，kZ Z，得x4k，kZ Z， 6x 4 24
5、3即函数的定义域为Error!.(2)求函数ytan2tan1 的定义域和值域(3x 3)(3x 3)考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域解 由 3xk，kZ Z， 3 2得x，kZ Z，k 3 18所以函数的定义域为Error!.设ttan，(3x 3)则tR R，yt2t12 ，(t1 2)3 43 4所以原函数的值域是.3 4，)反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为 R R，将问题转化为某种函数的值域求解跟踪训练 1 求函数ylg(1tan x)的定义
6、域tan x1考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的定义域解 由题意得Error!即1tan x0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解k解析 tantantan ，(7 4)(2 4) 4tantantan .(9 5)(2 5) 5又 0，ytan x在内单调递增， 5 4 2(0， 2)tan tan ，tantan. 5 4(7 4)(9 5)类型三 正切函数综合问题例 4 设函数f(x)tan.(x 2 3)(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图考点 正切函数的综合应用7题点 正切函数的综合应用解 (1) ，最小正周期T2.1 2
7、 1 2令 (kZ Z)，得xk(kZ Z)，x 2 3k 22 3f(x)的对称中心是(kZ Z)(k2 3，0)(2)令 0，则x；令 ，则x；x 2 32 3x 2 3 47 6令 ，则x；令 ，则x；x 2 3 4 6x 2 3 25 3令 ，则x.x 2 3 2 3函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相(x 2 3)(2 3，0)邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期 35 3内的简图(如图)( 3，53)反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ Z 隔开的无穷多支曲
8、线组成，ytan x的对称中心为 2，kZ Z.(k 2，0)8跟踪训练 4 画出f(x)tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性考点 正切函数的综合应用题点 正切函数的综合应用解 f(x)tan |x|化为f(x)Error!根据ytan x的图象，作出f(x)tan |x|的图象，如图所示，由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，0， 2)(kN N)；单调减区间为，(k 2，k32)( 2，0(k0，1，2，).(k3 2，k2)1函数f(x)tan的单调递增区间为( )(x 4)A.，kZ Z(k 2，k2)B(k，(k1)，kZ ZC.，kZ
9、Z(k3 4，k4)D.，kZ Z(k 4，k34)考点 正切函数的单调性题点 判断正切函数的单调性答案 C2函数ytan x是( )1 tan xA奇函数B偶函数9C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的奇偶性答案 A解析 函数的定义域是Error!，且 tan(x)tan x1tanx1 tan x，所以函数ytan x是奇函数(tan x1 tan x)1 tan x3(2017绍兴柯桥区期末)函数y3tan的最小正周期是( )(5 2x 6)A. B.2 55 2C. D54 5考点 正切函数的单调性题点 正切函数单调性的应用答案
10、A4将 tan 1，tan 2，tan 3 按大小顺序排列为_(用“0)的图象的相邻两支截直线y所得的线段长为，则f 4 4的值是( )( 4)A0 B1 C1 D. 4考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的周期性答案 A解析 由题意，得T，4. 4f(x)tan 4x，ftan 0.( 4)126函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是( )( 2，32)考点 正切函数的图象题点 正切函数的图象答案 D解析 当sin x，y2sin x0)的最小正周期为 2，则f_.(x 6)( 6)考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的周期性答案 1解析 由已知2
11、，所以 ， 1 2所以f(x)tan，(1 2x 6)所以ftantan 1.( 6)(1 2 66) 49比较大小：tan_tan .(2 7)( 5)考点 正切函数的单调性题点 正切函数单调性的应用答案 0；f.fx1fx2x1x2(x1x2 2)fx1fx22当f(x)tan x时，正确结论的序号为_考点 正切函数的综合应用题点 正切函数的综合应用答案 解析 由于f(x)tan x的周期为 ，故正确；函数f(x)tan x为奇函数，故不正确；f(0)tan 00，故不正确；表明函数为增函数，而f(x)tan x为区间上的增函数，故正确；由函数f(x)tan x的图象可知，函数在区间( 2
12、，2)上有f，在区间上有f0，得 tan x1 或 tan xxsin x，(0， 2)所以当x时，ysin x与ytan x没有公共点，因此函数ysin x与ytan x(0， 2)在区间0,2内的图象如图所示，观察图象可知，函数ytan x与ysin x在区间0,2上有 3 个交点15设函数f(x)tan(x)，已知函数yf(x)的图象与x轴( 0，0 0，所以2，从而f(x)tan(2x)因为函数yf(x)的图象关于点M对称，( 8，0)所以 2，kZ Z，( 8)k 2即，kZ Z.k 2 4因为 0，所以， 2 4故f(x)tan.(2x 4)(2)令k2xk，kZ Z， 2 4 2得k2xk，kZ Z，3 4 4即x，kZ Z.3 8k 2 8k 2所以函数的单调递增区间为，kZ Z，无单调递减区间(3 8k2，8k2)(3)由(1)知，f(x)tan.(2x 4)由1tan，(2x 4)3得k2xk，kZ Z， 4 4 3即x，kZ Z. 4k 2 24k 2所以不等式1f(x)的解集为Error!.3
