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1、,材料力学,郑州大学 工程力学系,弯 曲 位 移,第 八 章,Displacements of Bending Beam,第八章 弯曲位移,概述,1 挠曲近似微分方程,2 积分法求梁的变形,3 叠加法求梁的变形,4 简单超静定梁,目录,5 梁刚度条件&提高刚度措施,3,7-1,工程实例,吊车大梁,桥式起重机,小车爬坡困难,4,顶针,尾架,5,目录,SHAFT,6,叶轮,叶片,泵壳,GEAR WHEEL,7,1 挠曲近似微分方程,一. 挠度和转角,挠度转角关系：,截面形心 x 方向位移极微小, 忽略不计(小变形),（连续光滑),弯曲前后，横截面始终垂直于轴线,（ 导数之几何意义 ）,转角,挠度,
2、挠曲线,截面间夹角轴线间夹角,顺时为正,向下为正.,（ Approximately differential Equation for Deflection Carve ）,DeIlection and slope,8,曲率 -曲线 微分关系：,略去高阶小量,二.挠曲线近似微分方程,(考虑全梁各个截面),M(x) 0,号与坐标取向、 有关,弯矩符号规定,二阶挠曲近似微分方程,9,2 积分法求梁位移,挠曲线近似微分方程：,再积分一次 挠度方程：,积分一次 转角方程：,（ Determine Displacements by Method of lntegration ),10,2 积分法,积分常
3、数由梁支承条件和连续条件确定：,（-弹簧变形）,裂,断,11,例1 求转角和挠度方程，并求最大转角和 挠度,（ ）,（梁EI已知）,1）列挠曲微分方程,解,3）定积分常数,支承条件,连续 条件,2）积分,代入,4）转角方程和挠度方程,5）最大转角和最大挠度,1）各段M(x)按同一侧算；,若遵循：,各积分 常数 将两两 相等,2）积分时均不打开括号 （ x a ）,13,*例2 求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和挠度 （EI已知，l = a + b，a b ）,解,1）求反力（整体平衡）,分段：,2）弯矩、微分方程并积分,3）定积分常数,(1),连续条件,支承条件,（2）,(1),（2）,(
4、1),（2）,14,4）转角方程和挠度方程,代入解出,1）各段M(x)按同一侧算；,若遵循二规律 ：,可得各积分常数两两 相等,2）积分时均不打开括号 （ x a ）,B,15,5）最大转角和挠度,分析 wmax 位置：,结论： 对简支梁，荷载作用点对 w max 位置影响不大.,b= 0,b=l/2,其余当在二者之间；,且wmax与跨中 w 相比误差不超过3,x=0.5l .,x=0.577l ;,( 令 ),不论荷载作用在何处（只要同向），均可认为w max 发生在跨中,( 用跨中 w 代替 ),16,（2I）,（I）,F,（I）,1）反力,2）弯矩、微分方程、积分（分段）,对称 (荷载、
5、几何尺寸、支承)，,3）定积分常数,连续 条件,支承 条件,求,2 积分法,例3,解,(1),（2）,(1),（2）,(1),本问题仅算一半即可,17,可解出,2积分法求梁变形,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,弯曲位移,18,3 叠加法求梁位移,若干个载荷共同作用产生的位移（挠度或转角），,（变形叠加原理）,载荷较多时，积分法计算繁杂,叠加法较简便,若干个载荷（包括外力偶、分布力）作用时，,小变形，材料线弹性,M 与F 成正比,（ w、 ）是荷载（ F 、 m、 q ）的一次（线性）函数,线性函数的叠加原理,各载荷单独作用产生的位移彼此独立，互不影响,（ 各简单荷载下梁的 w、 P 208
6、 表 ）,等于各载荷分别单独作用位移的代数和,待定积分常数较多（n段2n个常数）,（Determine Displacements by Method of Superposition）,19,梁受力如图， q、l、EI 均已知, 求C 截面挠度wC ；B截面转角B,1）载荷分解,2）查表得三种情形下wC 、B,解,w,x,例1,20,3） 叠加，将各载荷作用结果求和,w,x,C,解,F = qa,悬臂梁受力如图示, q、l、EI均已知.求B截面转角、挠度 ,梁上载荷分成 1） 2）,AC变形不受BC影响（自由且无外力）,例2,BC本身无变形,2）,分两段分析：,但有刚体位移（随C刚体转动）,
7、3）叠加,（ 无M/零曲率）,例3,F=qa,a,D,a,a,B,A,q,解,叠加法求 ,先将载荷分成情形 1、2,3）叠加,+ 自身变形（形似悬臂）,挑臂随内跨作刚体转动,23,2）,讨 论:,叠加法求变形有什么优缺点？,24,*例4 ,求wc,分布力可看作无数微力的组合.,2）叠加,（note：x为位移点的坐标）,qdb引起的C截面位移为：,该微段qdb看作集中力:,距B端为b处取微分长度 db,25,4 弯曲超静定,一. 概念和基本方法：,超静定梁：梁支反力数目有效平衡方程数目,多余约束：,超静定次数：,从维持平衡而言不必要的约束,反力数平衡方程数,多余约束/反力数,说明：多余约束/力数
8、目是定值, 多余约束则可有多种选择,( Simple Statically Indeterminate Beam ),26,加顶针、中心架、尾架，跟刀架,中心架,刀座,尾架,顶尖,车床,超静定梁实例,27,奉浦大桥,超静定梁实例,大跨度预应力 连续梁 桥,28,2）列出位移条件（变形协调条件）,求梁内力图，梁抗弯刚度为EI。,1）选多余约束解除，用相应反力代替,判定超静定次数,B,F,a,a,A,3）力位移关系,（相当系统）,(几何方程),( P 208表2 ),29,由整体平衡求其他约束反力,代入几何方程解出未知反力,一当RB求出后，以后即为静定问题,求解方法回顾,选多余约束去除，代以相应反
9、力（相当系统 ）,比较变形，列位移条件（变形协调条件）,由力-位移关系解位移方程求解多余未知力,（其它反力可由平衡条件求出）,30,此时相应静定结构为简支梁,超静定梁,相应多余未知力为约束力偶,本例也可选其它约束为多余约束,B,F,a,a,A,位移条件（变形协调条件）：,变形条件应与去除的约束相对应,31,例1 梁AB 和吊杆 在D处铰接，梁抗弯刚度EI ，杆抗拉刚度EA，,1）可看杆作多余约束,2）位移条件：,解,D,( P 209表7、9 ),二. 算例：,求吊杆受力,从D 处拆开，梁杆分离,32,例2,写出下列梁的变形条件,两梁彼此互为约束，每一梁除固端外有圆柱约束超静定,去除圆柱约束超
10、静定结构成为两悬臂梁。,注意： WD1 是否仅为F 引起？,变形条件：,（二梁始终以圆柱相接，位移相等）,33,去除连杆约束 使原结构变成两个悬臂梁,两梁都受连杆约束，每一梁除固端外还有连杆约束超静定,4超静定梁,34,一.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,5 梁刚度条件 提高刚度措施,Stiffness Condition of BeamRational Design of Beam for Stiffness,35,1）由挠度表中查B 处转角：,解,2）由刚度条件定轴径：,例 已知钢制圆轴左端受力 F20 kN，al m，l2 m，E=206 G
11、Pa。 轴承B处许可转角 =0.5 根据刚度要求确定轴直d,根据要求轴须有足够刚度，保证轴承B 处转角不超过许用数值,36,二.提高梁刚度的措施,1）截面形状合理，提高抗弯刚度,截面积一定前提下惯性矩I尽可能大,风电 塔筒,37,2）受力合理，减小跨度,改变支座形式,5刚度条件及提高措施,38,大型载重列车,大跨度预应力 连续梁 桥,增加支承超静定,39,5刚度条件及提高措施,车床,中心架,刀座,顶尖,40,小结,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念,2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,3、学会用变形比较法解简单超静定问题,本章结束,Thanks!,到此处才行一步；望诸君莫废半途。,遵道而行，但到
12、半途须努力；会心不远，欲登绝顶莫辞劳。,42,曲率 -曲线 微分关系：,略去高阶小量,二.挠曲线近似微分方程,(考虑全梁各个截面),弯曲正应力推导得:,43,二阶挠曲近似微分方程,上式进行积分，就可求出转角和挠度,号与坐标取向、 有关,图示坐标系下，弯矩符号与 挠曲线二阶导数符号相反，,1 挠曲近似微分方程,弯矩符号规定,44,3 叠加法求梁变形,当梁上载荷较多时，积分法求梁位移分多待定积分常数较多（n段有2n个数）计算繁杂,较简便的一种方法叠加法,考虑若干个载荷F1，F2，（广义力含外力偶、分布力）作用,共同作用时：,分别单独作用时：,小变形，材料线弹性时（M与F成正比） 弯矩 可叠加：,(2),45,故,结论：在若干个载荷共同作用时梁的挠度或转角，等于各载荷单独作用时挠度或转角的代数和计算弯曲变形的叠加原理,叠加法求梁变形,
