【数学】2013年高考真题浙江卷（理）解析版1

120132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (浙江卷浙江卷) )理理 科科 数数 学学选择题部分（共 50 分） 一、选择题：每小题 5 分，共 50 分． 1．已知 i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)= A．−3+iB．−1+3i C．−3+3i D．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题 【答案解析】B 2．设集合 S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(RS)∪T= A．(−2，1]B．(−∞，−4]C．(−∞，1]D．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题 【答案解析】C 因为(RS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1]. 3．已知 x，y 为正实数，则 A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy C．2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy 【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项 D 正确4．已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φR)，则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的π2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中 档题 【答案解析】B 由 f(x)是奇函数可知 f(0)=0，即 cosφ=0，解出 φ= +kπ，kZ，所以选项 B 正确π25．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则9 5A．a=4B．a=5 C．a=6D．a=7 【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题 【答案解析】A6．已知 αR，sin α+2cos α=，则 tan2α=102A．B．4 33 4C．−D．−3 44 3【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题开始S=1，k=1k>a?S=S+1 k(k+ 1)k=k+1输出 S结束是否（第 5 题图）2【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=可得=，进(102)2sin2α + 4cos2α + 4sin αcos αsin2α + cos2α10 4一步整理可得 3tan2α−8tan α−3=0，解得 tan α=3 或 tan α=− ，于是 tan2α==− .1 32tan α1−tan2α3 47．设△ABC，P0是边 AB 上一定点，满足 P0B= AB，且对于 AB 上任一点 P，恒有∙≥1 4→PB→PC∙，则→P0B→P0CA．ABC=90B．BAC=90C．AB=ACD．AC=BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档 题【答案解析】D 由题意，设||=4，则||=1，过点 C→AB→P0B作 AB 的垂线，垂足为 H，在 AB 上任取一点 P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，∙=||||=(→PB→PC→PH→PB−(a+1))||，∙=−||||=−a，于是∙≥|→PB|→PB→P0B→P0C→P0H→P0B→PB→PC∙恒成立，相当于(−(a+1))||≥−a 恒成立，整理得||2−(a+1)||+a≥0 恒成立，→P0B→P0C|→PB|→PB→PB→PB只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0 即可，于是 a=1，因此我们得到 HB=2，即 H 是 AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以 AC=BC 8．已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则 A．当 k=1 时，f(x)在 x=1 处取到极小值 B．当 k=1 时，f(x)在 x=1 处取到极大值 C．当 k=2 时，f(x)在 x=1 处取到极小值 D．当 k=2 时，f(x)在 x=1 处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题 【答案解析】C 当 k=1 时，方程 f(x)=0 有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得 f(x)的大 致图象，于是选项 A，B 错误；当 k=2 时，方程 f(x)=0 有三个解，x1=0，x2=x3=1，其 中 1 是二重根，由标根法可得 f(x)的大致图象，易知选项 C 正确。

9．如图，F1，F2是椭圆 C1：与双曲线 C2x2 4+y2 = 1的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的 公共点．若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率为 A．B．23C． D．3 262 【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何 性质，属于中档题 【答案解析】D 由题意，c=，|AF2|+|AF1|=4……①，|AF2|−|AF1|=2a……②，①+②得3|AF2|=2+a，①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=| F1F2|2，所以 a=，于是 e= =.2c a62CABHP0P0101k=1k=2OxyABF1F2（第 9 题图）310．在空间中，过点 A 作平面 π 的垂线，垂足为 B，记 B=fπ(A)．设 α，β 是两个不同的平 面，对空间任意一点 P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则 A．平面 α 与平面 β 垂直B．平面 α 与平面 β 所成的（锐）二面角为 45 C．平面 α 与平面 β 平行D．平面 α 与平面 β 所成的（锐）二面角为 60 【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题 【答案解析】A 用特殊法立即可知选项 A 正确非选择题部分（共 100 分）二、填空题：每小题 4 分，共 28 分．11．设二项式的展开式中常数项为 A，则 A= (x−13x)5．【命题意图】考查二项式定理，属于容易题【答案解析】−10 12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体 的体积等于 cm3．【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去 一个 三棱锥所得13．设 z=kx+y，其中实数 x，y 满足若 z 的最大值为 12，则实数 k= {x+y−2 ≥ 0， x−2y+ 4 ≥ 0， 2x−y−4 ≤ 0．)．【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题【答案解析】2 作出平面区域即可 14．将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答） ．【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题【答案解析】480 第一类，字母 C 排在左边第一个位置，有 A 种；第二类，字母 C5 5排在左边第二个位置，有 A A 种；第三类，字母 C 排在左边第三个位置，有 A A + 2 43 32 2 3 3A A 种，由对称性可知共有 2( A + A A + A A + A A )=480 种。

2 33 35 52 4 3 32 2 3 32 3 3 315．设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过点 F(−1，0)的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点．若|FQ|=2，则直线 l 的斜率等于 ． 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题【答案解析】±1 设直线 l 的方程为 y=k(x+1)，联立消去 y 得{y=k(x+ 1)， y2 = 4x．)k2x2+(2k2−4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =−，于是 xQ==，把 xQ带2k2−4k2xA+ xB 22 k2−1入 y=k(x+1)，得到 yQ= ，根据|FQ|=，解出 k=±1．2 k(2 k2−2)2+(2 k)2= 216．在△ABC，C=90，M 是 BC 的中点．若 sinBAM= ，则 sinBAC= ．1 3【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题【答案解析】 设 BC=2a，AC=b，则 AM=，AB=，sinABM= 63a2 +b24a2 +b243233正视图侧视图俯视图 （第 12 题图）4sinABC==，在△ABM 中，由正弦定理=，即 =，解得AC ABBMsinBAMAMsinABMa 1 32a2=b2，于是 sinBAC===．BC AB6317．设 e1，e2为单位向量，非零向量 b=xe1+ye2，x，yR．若 e1，e2的夹角为 ，则的π6|x| |b b| 最大值等于 ．【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题【答案解析】2 ====|x| |b b||x|(xe e1 +ye e2)2|x|x2 +y2 +3xy1x2 +y2 +3xyx2=，所以的最大值为 21(y x)2+3yx+ 11(y x−32)2+1 4|x| |b b| 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分． 18． （本小题满分 14 分）在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成 等比数列（Ⅰ）求 d，an； （Ⅱ）若 db>0)的一个顶点，C1的长轴是圆x2 a2+y2 b2= 1C2：x2+y2=4 的直径．l1，l2是过点 P 且互相垂直的两 条直线，其中 l1交圆 C2于 A，B 两点，l2交椭圆 C1于 另一点 D． （Ⅰ）求椭圆 C1的方程；xOyBl1l2PDA（第 21 题图）7（Ⅱ）求△ABD 面积取最大值时直线 l1的方程．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系 等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力【答案解析】（Ⅰ）由题意得 {b= 1， a= 2．)所以椭圆 C 的方程为．x2 4+y2 = 1（Ⅱ）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 y=kx−1．又圆 C2：x2+y2=4，故点 O 到直线 l1的距离d=，1k2 + 1所以|AB|=2=2．4−d24k2 + 3 k2 + 1又 l1l2，故直线 l2的方程为 x+ky+k=0．由消去 y，整理得 (4+k2)x2+8kx=0故x0=−．8k 4 +k2所以|PD|=．8k2 + 14 +k2设△ABD 的面积为 S，则S= |AB||PD|=，1 28 4k2 + 34 +k2 所以S==，324k2 + 3 +134k2 + 33224k2 + 3  134k2 + 316 1313当且仅当 k=±时取等号102 所以所求直线 l1的方程为y=±x−1102 22． （本题满分 14 分）已知 aR，函数 f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3 （Ⅰ）求曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当 x[0，2]时，求|f(x)|的最大值．【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力， 分类讨论等分析问题和解决问题的能力【答案解析】8（Ⅰ）由题意 f (x)=3x2−6x+3a，故 f (1)=3a−3．又 f(1)=1，所以所求的切线方程为 y=(3a−3)x−3a+4 （Ⅱ）由于 f (x)=3(x−1)2+3(a−1)，0x2．故 （ⅰ）当 a0 时，有 f (x) 0，此时 f(x)在[0，2]上单调递减，故 |f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−3a （ⅱ）当 a1 时，有 f (x) 0，此时 f(x)在[0，2]上单调递增，故 |f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}= 3a−1 （ⅲ）当 00，f(x1)f(x2)=4(1−a)>01−a 从而 f(x1)。