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1、12014-2015 学年度第二学期邗江中学新疆班高二年级期中数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1、计算：310cos= 。2、若复数iim 12,(Rmi是虚数单位）为纯虚数，则m= 。3、某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，9 ,11,10, 8。已知这组数据的平均数为 10，则其方差为 。4、已知等比数列 na的各项均为正数，若31a，前三项的和为 21 ，则654aaa 。5、设QP和是两个集合，定义集合QxPxxQP且,|，若4 , 3 , 2 , 1P，RxxxQ , 221|，则QP 。6、根据如图所示的伪代码，可知输出的结
2、果I为 。7、已知扇形的周长为cm8，则该扇形面积的最大值为 2cm。8、过椭圆12222 by ax)0( ba的左顶点A作斜率为 1 的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B。若MBAM ，则该椭圆的离心率为 。9、若方程5|lgxx在区间)(1,(zkkk上有解，则所有满足条件的k的值的和为 。10、如图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，2A1C1B1BCAD乒 乒 11乒 乒ADCBMN乒 乒 13乒 乒乒 15乒乒 乒 乒4133乒 乒 乒5乒 乒22海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距23海里的D处；乙船位于灯塔
3、 B 的北偏西60方向，与B相距 5 海里的C处，则两艘船之间的距离为 海里。 11、如图，在正三棱柱111CBAABC 中，D 为棱1AA的中点，若截面DBC1是面积为6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。12、设p：函数|2)(axxf在区间), 4( 上单调递增；12log:aq，如果命题“p”与q都是真命题，那么实数a的取值范围是 。13、如图，在正方形ABCD中，已知2AB，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则AMAN的最大值是 。 14、已知函数4)(xaxxf， 1 ,21x，BA,是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足421 k，则实数a的值是 。二、
4、解答题15、 （本题满分 14 分）某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1) 该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率3ACDBPMQ16、 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥ABCDP 中，底面ABCD中为菱形，60BAD，Q为AD的中点。（1）若PDPA ，求证：平面PQB平面PAD；（2）点M在线段PC上，tPCPM ，试确定实数t的值，使得|PA平面MQB。17、 （本题满分 14 分）已知函数xxxxfcossin32cos2)(2。（1）求函数)(xf在3,6上的值域；（2）在ABC
5、中，若)cos()cos(sin2 , 2)(CACABCf，求Atan的值。18、 （本题满分 16 分）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线pxy22横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为 5。（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：4圆C过定点。19、 （本题满分 16 分）在数列 na中，已知01 pa，且，Nn（1）若数列 na为等差数列，求p的值。（2）求数列 na的前n项和nS20、 （本题满分 16 分）设0a，函数|1ln|)(2xaxxf.(1) 当1a时,求曲线)(xfy 在1x处的切线方程;(2) 当),
6、 1 x时,求函数)(xf的最小值.5BDACPQNMO参考答案一、填空1、21；2、2；3、2；4、168；5、4；6、5；7、4；8、36；9、1；10、13；11、38；12、), 4( ；13、6；14、29。二、解答题15、 （本题满分 14 分）解：（1） （设“该队员只属于一支球队的”为事件 A，则事件 A 的概率53 2012)(AP（2）设“该队员最多属于两支球队的”为事件 B，则事件 B 的概率为109 2021)(AP答：（略）16、 （本题满分 14 分）解：（1）连BD，四边形ABCD菱形 ABAD ，60BAD为正三角形ABD中点为ADQBQAD PDPA Q为AD
7、的中点， PQAD 又QPQBQPQBAD平面，PADAD平面PADPQB平面平面（2）当31t时，使得MQBPA 平面|，连AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD 6的中点，又BQ为ABD边AD上中线，N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则aAN33，aAC3。MQBPA 平面| PACPA平面 MNMQBPAC平面平面MNPA|31333aaACAN PCPM即：PCPM31 31t。17、解：（1）1)62sin(22sin32cos1cossin32cos2)(2xxxxxxxf36x 65 626x，1)62sin(21x31)62sin(0x)(xf在区间3,6上的
8、值域为 3 , 0（2）21)62sin(2)(ccf 21)62sin(c， co 62626c65 62 c，3cCACAcABsinsin2)cos()cos(sin2CACAsinsin)sin(CACACAsinsinsincoscossin72333cos3sin3sincossinsintan CCCA18、解：（1）依题意，得：542p，2 p。抛物线标准方程为：xy42（2）设圆心C的坐标为),4(02 0yy，半径为r。 圆心C在y轴上截得的弦长为4 22 02)4(4yr圆心C的方程为：22 02 022 0)4(4)()4(yyyyx从而变为：0)4(2)21 (22
9、02 0yxyyyx对于任意的Ry 0，方程均成立。故有： 40202122yxyx解得： 02 yx所以，圆C过定点（2，0） 。19、解：（1）设数列 na的公差为d，则dnaan) 1(1，ndaan11，依题得：23)() 1(2 11nnndadna，对 Nn恒成立。即：23)()2(2 12 12 122nndaanddand，对 Nn恒成立。所以 232112 12 12daaddad，即： 211ad或 211ad01 pa，故p的值为 2。（2）)3)(2(232 1nnnnaann8)3)(2(12nnaann所以，132 nn aann 当n为奇数，且3n时，11,46,
10、2423513 nn aa aa aann。相乘得,211n aan所以 .21pnan当1n也符合。 当n为偶数，且4n时，3524aa， 11 57246 nn aa aann相乘得,312n aan所以 231anan621aa，所以 pa62。因此 pnan) 1(2，当2n时也符合。所以数列 na的通项公式为 为偶数为奇数npnnpnan ,) 1(2,21。当n为偶数时，2) 13(22 2)21 (2) 1(2 21026 nnpnnppnpn ppppSnpnnpnn 2)4( 8)2(当n为奇数时，1n为偶数，pn pnnpnnaSSnnn21 2)41)(1( 8)21)(
11、1(1pnnpnn 2)3)(1( 8)3)(1(9所以 为偶数为奇数，npnnpnnnpnnpnnSn2)4( 8)2(,2)3)(1( 8)3)(1(20、解（1）当1a时，|1ln|)(2xxxf令1x 得 , 1) 1 (, 2) 1 (ff所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1，所以曲线)(xfy 在1x处的切线方程为：01 yx。（2）当ex 时，axaxxfln)(2，xaxxf2)( )(ex 0a，0)(xf恒成立。 )(xf在), e上增函数。故当ex 时，2 min)(eefy 当ex 1时，1ln)(2xaxxf，)2)(2(22)(axaxxxaxxf（ex 1）（
12、i）当, 12a即20 a时，)(xf 在), 1 ( ex时为正数，所以)(xf在区间), 1 e上为增函数。故当1x时，ay1min，且此时)() 1 (eff(ii)当ea21，即222ea 时，)(xf 在)2, 1 (ax时为负数，在间),2(eax 时为正数。所以)(xf在区间)2, 1 a上为减函数，在,2(ea上为增函数故当2ax 时，2ln223minaaay，且此时)()2(efaf(iii)当ea2；即 22ea 时，)(xf 在), 1 ( ex时为负数，所以)(xf在区间1,e上为减函数，故当ex 时，2 min)(eefy。10综上所述，当22ea 时，)(xf在ex 时和ex 1时的最小值都是2e。所以此时)(xf的最小值为2)(eef；当222ea 时，)(xf在ex 时的最小值为2ln223)2(aaaaf，而)()2(efaf，所以此时)(xf的最小值为2ln223)2(aaaaf。当20 a时，在ex 时最小值为2e，在ex 1时的最小值为af1) 1 (，而)() 1 (eff，所以此时)(xf的最小值为af1) 1 (所以函数)(xfy 的最小值为 222 min2,22 ,2ln22320 ,1eaeeaaaaaay
