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1、第4章 数值积分11 引言 1 . 数值求积的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式： 但对于下列情形：2（1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立 3就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 (图4-1).图4-14问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值.将 称为区间 上的平均高度
2、. 这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式(几何意义参看图4-2). 5图4-2用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式) 6一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ，然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样式中 称为求积节点； 称为求积系数,亦称伴随节点的权. 权 仅仅与节点 的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式. 而不依赖于被积函数kA7这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避
3、开了牛顿-莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难. 82. 代数精度的概念 定义1如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度. 梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度. 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.9欲使求积公式 具有 次代数精度，则只要令它对 都准确成立，就得到10如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等距分点作为节点，这时取 ，求解方程组即可确定求积系数 ，而使求积公式 至少具有 次代数精度. 构造求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题. 11例 求a,b,c的值使下列
4、求积公式的代数精度达到最高。123. 插值型的求积公式设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值，作插值函数 .取 作为积分 的近似值，这样构造出的求积公式13称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项 式中与变量 有关， 14当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项 为零，反之，如果求积公式 至少具有 次代数精度，则它必定是插值型的. 事实上，这时公式 对于插值基函数 应准确成立，即有至少具有 次代数精度.所以这时插值型求积公式15定理1注意到上式右端实际上等于因而成立. 这样，有下面定理.求
5、积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的. 164 . 求积公式的收敛性与稳定性定义2其中在求积公式中，由于计算 可能产生误差 ，实际得的将是 ，即在求积公式中，若则称求积公式(1.3)是收敛的. 记17如果对任给小正数只要误差 充分小就有 则表明求积公式计算是稳定的，由此给出下面定义.定义3就有 成立，则称求积公式是稳定的. 对任给若只要18定理2证明取若求积公式中系数 则此求积公式是稳定的. 对任给都有若对则当 时有19由定义3知，求积公式是稳定的. 202 牛顿-柯特斯公式 1. 柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分，选取等距节点 构造出的插值型求积公式称为牛顿-柯特斯公
6、式，式中 称为柯特斯系数. 引进变换步长则利用等距节点的插值公式，有21当 时，这时的求积公式就是梯形公式22当 时，相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式 柯特斯系数为 23的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，这里 可构造柯特斯系数表.其形式是 2425从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，特别地，假定于是有且则有 26它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的. 272. 偶阶求积公式的代数精度 由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度. 用 进行检
7、验，本节讨论代数精度的进一步提高问题. 按辛普森公式计算得 28另一方面，直接求积得 这时有 ，而它对 通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度. 均准确成立,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此，定理3当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 次代数精度. 29证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零. 由于这里引进变换 并注意到 有 按余项公式有 30因为被积函数若 为偶数，则 为整数，为奇函数，所以再令进一步有313 . 几种低阶求积公式的余项 按余项公式，梯形公式的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)，应用积分中值定理，在 内存在一点 使 ，3
8、2333 复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度. 1. 复化梯形公式 分点在每个子区间xk,xk+1 (k=0,n) 上采用梯形公式，则得 将区间 划分为 等分，34记 称为复化梯形公式. 35其余项由于 , 且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 36误差是 阶，且当 时有 即复化梯形公式是收敛的. 37此外， 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.只要 则当 时，上式均收敛到积分所以复化梯形公式收敛.将Tn 改写为 38 对复化梯形公式，还有 如果f(x)在a,b上有2r+2阶连续导数，余 项39定
9、义 设402. 复化辛普森求积公式 记 将区间 分为 n 等分， n=2m, xk=a+kh,k=0,2m在每个子区间 x2k-2,x2k 上用Simpson公式41称为复化辛普森求积公式. 于是当 时，与复化梯形公式相似有 误差阶为 4 ，显然是收敛的. 42实际上，只要则可得到收敛性，即 此外，由于 Sn 中求积系数均为正数，故知复化辛普森 公式计算稳定43例2对于函数 ，给出 的函数表并估计误差. 解(见表4-2)，计算积分 应用复化梯形法求得T8=0.9456909 试用复化梯形公式(及复化辛普森公式将积分区间0,1划分为8等分，44而如果将0,1 分为4等分，应用复化辛普森法有S4=
10、0.9460832 同积分的准确值 I=0.9460831比较，接下来看误差估计 ，由于所以有 只有两位有效数字,复化辛普森法有6位有效数字.复化梯形法的结果以上得到的两个结果 T8 与S4 ，都需要提供9个点上的函值，计算量基本相同，然而精度却差别很大.45于是 得复化梯形公式误差 46对复化辛普森公式， 47484 Richardson外推法 也就是说用 近似J的误差价为 ，现在考虑利用构造一个新的计算公式，使误差的价比 高. .)()()()(.)()(.1);()()(22112121202010100002010002010000001+=+=+=ppppp nppp npphqBA
11、hqBAJBAqhBqhBhqBJBhAhAhAJAqqhUBhUAhUnnaaaaaaaaaa令4950515 龙贝格求积公式 梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量. 根据复化梯形公式的余项表达式 525354若 (预先给定的精度)，则终止计算，并取55可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即 对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算. 56例4解在 上仅是一次连续可微，用龙贝格算法计算积分 用龙贝格算法计算结果见表4-6. 57从表中看到用龙贝格算到 的精度与辛普森求积精度相当. 这里 的精确值为 58
