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1、第 4章 矩阵的对角化问题l l向量的内积向量的内积l l方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量l l相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化l l实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化l求方阵的特征值与特征向量的Mathematica实现1天津商学院本章要点施密特（Schimidt）正交化方法方阵的特征值与特征向量矩阵对角化矩阵对角化的条件实对称矩阵的对角化相似矩阵的概念与性质相似矩阵的概念与性质2天津商学院第 4.1节 预备知识1.向量的内积、长度、夹角2.正交向量组3.向量空间的规范正交基4.向量组正交规范化Schimidt正交化方法3天津商学院在 空 间 解 析 几 何 中向量向量非零
2、向量推广4天津商学院内积：令称为向量用矩阵记号可表示为内积性质()()()()当且仅当1.向量的内积、长度、夹角返回5天津商学院1.向量的内积、长度、夹角内积：令称为向量用矩阵记号可表示为内积性质()()()()当且仅当6天津商学院长度:称之为向量的长度(范数). 长度为1的向量,称为单位向量. 长度性质: () ()()7天津商学院夹角:称之为向量正交:则称显然,零向量与任何向量正交.返回8天津商学院2.正交向量组一组两两正交的非零向量,称为正交向量组.正交向量组是线性无关的.证明与作内积,得故线性无关.9天津商学院解设根据题意应满足由得有基础解系取即合所求.例4.1.1已知向量空间中两个向
3、量正交, 试求一个非零向量使两两正交.10天津商学院3.向量空间的规范正交基定义 设是向量空间V的一个基,若(1)两两正交;(2)均是单位向量,则称是向量空间V的一个规范正交基.返回11天津商学院则V中任意向 量若是向量空间V的一个规范正交基,可由其线性表示为 n维单位坐标向量组是的一个规范正交基.12天津商学院13天津商学院4.向量组正交规范化Schimidt正交化方法结论:任意线性无关向量组都可以化为与其等 价的标准正交向量组.（Schimidt）方法: 施密特正交化方法.首先正交化:返回14天津商学院首先正交化由所以为此取再取类似地,再取由,确定出,得15天津商学院其次标准化（单位化）令
4、于是就是与线性无关向量组等价的标准向量组继续作下去,16天津商学院例4.1.已知求一组非零向量使两两正交.解依题意应满足方程即或返回17天津商学院方程组基础解系为将其正交化, 取此即所求.18天津商学院1.将下列向量组正交规范化:(1) (2, 0), (1, 1);(2) (2, 0, 0), (0, 1, -1), (5, 6, 0).课课堂练习练习19天津商学院第 4.2节 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量定义2. 相关概念 3.两个有用公式4.特征值与特征向量求法(特征方程根与系数的关系)返回20天津商学院定义若存在常数及非零向量不同特征向量可属于同一个特征值.一个特征向量
5、不能对应于不同特征值.不同特征值对应的特征向量是线性无关的.1. 特征值与特征向量定义21天津商学院2、相关概念称22天津商学院可求得非零解对每个解方程此即对应于的特征向量.解特征方程,即可得特征值4.求法3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)即为的迹.这里返回23天津商学院例 4.2.1 求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由24天津商学院得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为25天津商学院例 4.2.2求矩阵的特征值与特征向量.解解得特征值当时,解方程得基础解系全部特征向量为返回26天津商学院当时, 解方程得基础解系全部特征向量为注意在例4.2.1与
6、例4.22中,特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数.27天津商学院例4.2.3 如果矩阵则称是幂等矩阵. 试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1.证明 设两边左乘矩阵, 得由此可得因为所以有 得由证明过程可得结论, 若是的特征值, 则是的特征值. 进而是的特征值28天津商学院课课堂练练 习习返回29天津商学院30天津商学院第 4.3节 相似矩阵和矩阵对角化1. 相似矩阵概念2. 相似矩阵基本性质3. 方阵的对角化含义4. 矩阵可对角化的条件返回31天津商学院1.相似矩阵概念定义 设都是阶方阵, 若有可逆矩阵使则称是的相似矩阵, 或说相似.称为把变成的相似变换矩阵.这时也是的相似矩阵: 相
7、似等价.32天津商学院2.相似矩阵基本性质基本性质(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.33天津商学院证明(1)设矩阵A与B相似,即有P -1 AP=B(2) 显然.(3)(4) 由(3)即得.(5) 由(4)及迹的定义即得.34天津商学院例4.3.1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值, 故与有相同的特征值 2, y, -1.根据特征方程根与系数的关系,有 而故x=0,y=1.35天津商学院课课堂练习练习36天津商学院3.方阵的对角化含义所谓方阵可以对角化, 是指 相似.
8、即存在可逆矩阵使成立.4. 矩阵可对角化的条件定理(充要条件)阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.37天津商学院证明设得到即是的对应于特征值的特征向量. 因可逆, 故线性无关.返回38天津商学院设线性无关. 记则因线性无关, 故可逆,即可对角化.推论(充分条件)若A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似(可对角化).逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.39天津商学院如果A有k 对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数)相等,则 A一定可对角化. 关的特征向量的个数少于k则A一定不能对角化.如果A有一个k 重特征值,并且所对应的线性无重特征值,只要重数(代数重数)和所定理(
9、证明略)40天津商学院例4.3.2有三个不同的特征值 对应的特征向量分别为已知求(1)(2)解又所以返回41天津商学院(2)即记显然可逆, 则有而故42天津商学院课课堂练习练习43天津商学院第4.4节 实对称阵的对角化1.正交矩阵2. 实对称矩阵的特征值与特征向量3. 实对称矩阵的对角化返回44天津商学院1. 正交阵正交阵:设为阶方阵, 若满足则称为正交阵.正交阵,满足经正交变换线段长度保持不变. 即若为正交变换,则有正交变换: 线性变换 交变换.称为正45天津商学院的证明即有方阵为正交阵的列(行)向量都是单位向量,且两两正交.返回46天津商学院9.证明(1)若A为正交矩阵,则|detA|=1
10、.课课堂练习练习47天津商学院2.实对称矩阵的特征值与特征向量(1)实对称矩阵的特征值都是实数.(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)实对称矩阵的重特征值的重数(代数重数)与对应 的线性无关的特征向量的个数(几何重数)相等.结论返回48天津商学院任一实对称矩阵一定可以对角化. 与之相似的对 角阵的对角元素就是的全部特征值, 而正交阵 是由其对应的单位特征向量所组成的.3.实对称矩阵的对角化设为阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵 使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.主要结论49天津商学院例4.4.1求一个正交阵解(1)求特征值:特征值为50天津商学院(2)求特征向量:对于解得线性
11、无关的特征向量为对于解得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法51天津商学院正交化取单位化取(4)写出所求正交矩阵:52天津商学院令则 P 是正交阵. 并且要特别注意本题的解题方法和步 骤.在下面的用正交变换化二次型 为标准形中还要用到类似的方法.53天津商学院课课堂练练 习习54天津商学院第4.5节 求方阵的特征值与特征向量的Mathematica实现.Eigenvaluesa, 用以求矩阵a的特征值;2. Eigenvectorsa, 用以求矩阵a的特征向量;3. Eigensystema,用以同时给出矩阵a的所有特征值与 线性无关的特征向量.注 求n阶方阵的
12、特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所 有特征值与线性无关的特征向量，如果矩阵线性无关的特征向 量的个数小于n，则会增加零向量，使最后结果中在形式上有n 个向量.返回55天津商学院例 4.5.1 求矩阵的特征值与特征向量.第2步:求矩阵a的特征值调用命令Eigenvalues; 第3步:求矩阵a的特征向量调用命令Eigenvectors. 计算结果如图4.5.1.56天津商学院图2.5.1得特征值当时, 线性无关特征向 量为当时,线性无关特征向量为57天津商学院例 4.5.2求矩阵的特征值与特征向量.第2步:求矩阵a的特征值与特征向量调用命令 Eigensystem. 计算结果如图4.5.2.58天津商学院图2.5.2得特征值当时,线性无关特征向量为当时,线性无关特征向量为返回59天津商学院
