自动控制原理离散控制系统

《自动控制原理离散控制系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理离散控制系统（136页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第第7 7章章 离散控制系统离散控制系统自动控制原理自动控制原理普通高等教育普通高等教育“ “十一五十一五” ”国家级规划教材国家级规划教材机械工业出版社*1离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分 析和研究方法的相似性。利用Z变换法研究离散系统，可以 将连续系统中的许多概念和方法，推广至离散系统中。本章 主要讨论离散时间线性系统的分析方法。首先建立信号采样 和保持的数学描述，然后介绍Z变换理论与性质，以及系统 的脉冲传递函数，最后研究系统稳定性分析和最少拍系统设 计方法。第7章 离散控制系统7.1概述 7.2采样过程与采样定理 7.3 Z变换理论 7.4 离散控制系统的数学描述 7.

2、5 离散控制系统的分析与设计Date27.1 概述如果系统中的变量都是连续时间信号，称该系 统为连续时间系统。但在许多实际系统中，连续控 制是十分困难的，甚至是难以实现的。离散控制系统（又称为采样控制系统），它与 连续控制系统的根本区别在于：离散系统有一处或 几处信号是时间的离散函数。一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)， 因此取系统输出端的负反馈信号也需要采取离散型 时间函数b*(t)，于是比较后得到的偏差信号将是离 散型时间函数，即 (7-1)Date3因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关

3、的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为(2max。Date19(2) 若式(7-10)成立，将离散信号x*(t)通过一 个理想低通滤波器，就可以把smax的高频分量 全部滤除掉，使X*(j)中仅留下X(j)/T部分， 再经过放大器对1/T进行补偿，便可无失真地将原 连续信号x(t)完整地提取出来。理想低通滤波器特 性如图7.7(b)中虚线所示。(3) 采样周期T是离散控制系统中的一个关键参 数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对 被控系统的信息了解得也

4、就越多，控制效果也就越 好。但同时会增加计算机的运算量。反之，如果采 样周期选择越大，由于不能全面掌握被控系统的信 息，会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动 态性能，甚至有可能使整个控制系统变得很不稳定 。Date207.2.3 信号的恢复离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位置应处在采样开关之后(图7.8) 。图7.8

5、 保持器方块图Date21能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过 去时刻的采样值实行外推，而不能按将来时刻的采 样值外推。具有常值、线性、二次函数(如抛物线) 型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶 保持器。工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器 是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样 时刻kT的采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采 样时刻(k+1)T。当下一个采样时刻(k+1)T到来时应 换成新的采样值x(k+1)T继续外推。也就是说， kT时刻的采样值只能保存一个采样周期T，到下一 个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。 Date22零阶保持器的时域特性gh(t)如

6、图7.9(a)所示。 它是高度为1宽度为T的方波。高度等于1，说明采 样值经过保持器既不放大、也不衰减；宽度等于T， 说明零阶保持器对采样值保存一个采样周期。图 7.9(a)所示的gh(t)可以分解为两个阶跃函数之和， 如图7.9(b)所示。 图7.9 零阶保持器的时域特性(b)(a)Date23(7-11) 则零阶保持器的传递函数为 (7-12) 令s=j，带入式(7-12)中得零阶保持器频率特性为 (7-13) 或写成 (7-14) 因此零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)是一个幅 值为1、持续时间为T的矩形脉冲，可表示为两个阶 跃函数之和，即Date24式(7-14)中，|Gh(j)|为零

7、阶保持器的幅频特性或 频谱；Gh(j)为零阶保持器的相频特性。它们与 频率的关系分别为 (7-15) (7-16)Date25从幅频特性来看，零阶保持器是具有高频衰减 特性的低通滤波器，且频率越高衰减越剧烈，0 时的幅值为T；从相频特性来看，零阶保持器具有负 的相角，会对闭环系统的稳定性产生不利的影响。图7.10 零阶保持器的幅频与相频特性Date26零阶保持器有无穷多个截止频率，除允许主频 谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。所以零 阶保持器并不是只有一个截止频率的理想低通滤波 器，因此由零阶保持器恢复的连续信号xh(t)与原连 续信号x(t)是有差异的，主要表现在xh(t)具有阶梯 形状

8、，采样周期取得越小，上述差别也就越小。图7.11 零阶保持器的输出信号Date27需要指出，在相位上存在滞后现象，是各阶保 持器具有的共性。零阶保持器相对于其他类型的保 持器具有最小的相位滞后，且容易实现，因此在离 散控制系统中应用最为广泛。对于通过零阶保持器 的高频分量，它对系统的被控制信号的影响不大， 这是由于一般系统中的连续部分均具有较好的低通 滤波特性，可以使绝大部分的高频分量被抑制掉。 因此，在离散控制系统中采用零阶保持器来恢复离 散信号已足够，没有必要采用更复杂的高阶保持器 。 此外零阶保持器引入了附加的滞后相移，xh(t) 比x(t)在时间上平均滞后半个采样周期（如图7.11 中

9、虚线所示），这使系统的相对稳定性有所降低。Date287.3 Z变换理论Z变换的思想来源于连续系统。在分析连续时 间线性系统的动态和稳态特性时，采用拉普拉斯变 换，将系统时域的微分方程转换成s域的代数方程， 并得到系统的传递函数，从而便于分析系统的性能。 与此相似，在分析离散时间系统的性能时，可使用 Z变换建立离散时间线性系统的脉冲传递函数，进 而分析系统的性能。Z变换又称为离散拉普拉斯变 换，是分析离散系统的重要数学工具。Date297.3.1 Z变换定义设连续时间函数x(t)可进行拉普拉斯变换，其 拉氏变换为X(s)。连续时间函数x(t)经采样周期为 T的采样开关后，得到离散信号x*(t)

10、(式7-4)，即 对上式表示的离散信号进行拉氏变换，可得 (7-17) 式中X*(s)是离散时间函数x*(t)的拉氏变换。Date30因复变量s包含在指数函数e-kTs中不便计算，故引进 一个新变量z，即 (7-18) 式中，T为采样周期。将式(7-18)代入式(7-17)， 便得到以z为变量的函数X(z)，即 (7-19)式中X(z)称为离散时间函数X*(s)的Z变换，记为在Z变换中，考虑的是连续时间信号经采样后的 离散时间信号，或者说考虑的是连续时间函数在采 样时刻的采样值，而不考虑采样时刻之间的值。 Date31式(7-19)只适用于离散时间函数，只能表征连 续时间信号在采样时刻的信息，

11、不能给出采样时刻 之间的信息。从这个意义上说，连续时间函数x(t) 与相应的离散时间函数x*(t)具有相同的Z变换，即(7-20)Z变换中一般项x(kT)z-k与离散函数的拉氏变换 中一般项x(kT)e-kTs物理意义相同。z-k表征采样脉冲 出现时刻，x(kT)表征该时刻采样脉冲幅值。Z变换 实际上是拉氏变换的一种演化，目的是把原来是s的 超越函数X*(s)则变为z的有理函数X(z)，以便于对 离散系统进行分析和设计。从离散拉氏变换到离散 z变换，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射变 换，这个映射关系就是式(7-18)。 Date327.3.2 Z变换方法(1)级数求和法式(7-19)是

12、离散函数x*(t)的Z变换的级数展 开形式，将其改写成 (7-21) 该式是Z变换的一种级数表达式。显然，只要知道 连续时间函数x(t)在各采样时刻kT (k=0,1,2,) 上的采样值x(kT)，便可求出Z变换的级数展开式。 这种级数展开式具有无穷多项，是开放的，如果不 能写成闭式，是很难应用的。一些常用函数的Z变换 的技术展开式可以写成闭式的形式。Date33例7-1 试求单位阶跃函数1(t)的Z变换。 解 单位阶跃函数1(t)在所有采样时刻上的采样值 均为1，即 将上式代入式(7-21)，得或 (7-22)上式中，若|z|1，可写成如下的封闭形式，即 (7-23)Date34例7-2 试

13、求衰减的指数函数e-at(a0)的Z变换。解 将e-at在各采样时刻的采样值代入式(7-21)中，得 (7-24) 若|eatz|1,则上式可写成闭式的形式，即(7-25)例7-3 试求理想脉冲序列 的Z变换。 解 因为T为采样周期，所以Date35因此，理想脉冲的级数展开式为 (7-26) 将上式写成闭合形式(7-27)例7-4 试求函数ak的Z变换。 解 将ak在各采样时刻的采样值代入式(7-21)中得(7-28)将该级数写成闭合形式，得ak的Z变换，即(7-29)Date36例7-5 试求函数x(t)=sint的Z变换。 解 因为所以(7-30)通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于

14、： 需要将无穷级数写成闭合形式。在某些情况下需要 很高的技巧。Z变换的无穷级数形式(7-21)的优点 在于具有鲜明的物理含义。 Date37(2) 部分分式法 设连续时间函数x(t)的拉普拉斯变换X(s)为有理函数 ，并具有如下形式将X(s)展开成部分分式和的形式，即由拉氏变换知，与 项相对应的时间函数为 ，根据式(7-25)便可求得其Z变换为 ，因此，函数x(t)的Z变换可由X(s)求得 (7-31)Date38例7-6 利用部分分式法求取正弦函数sint的Z变换。 解 已知 ，将 分解成部分分式和的形式，即 由于 拉氏变换的原函数为 ；再根据式(7-25)可求得上式的Z变换(7- 32)

15、Date39例7-7 已知连续函数x(t)的拉氏为 ，求连续时间函数x(t)的Z变换。 解 将X(s)展成如下部分分式 对上式逐项取拉氏反变换，得据求得的时间函数，逐项写出相应的Z变换，得(7-33)Date40(3) 留数计算法假如已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)及 全部极点si(i=1,2,3,n)，则x(t)的Z变换X(z) 可通过留数计算求得。先分析X(z)和X(s)的关系。由拉氏反变换式有当对x(t)以采样周期T进行采样后，其采样值为(7-34)而x(kT)的Z变换为 (7-35)Date41将式(7-34)代入式(7-35)得符合收敛条件|z|eTs|时，可写成闭式将此其代入式(7-35)，得(7-36)这就是由拉普拉斯变换函数直接求相应的Z变换函数 的关系式。这个积分可以应用留数定理来计算。 Date42即 (7-37)式中，si为X(s)的极点；n为X(s)的极点个数； 表示求F(s)在s=si处的留数。(7-38)若si为X(s)的ri重极点，则(7-39)若si为X(s)的单极点， 则 Date43例7-8 求x(t)=t-at的Z变换。 解 由于 ，所以s1=0，r1=2。根据式(7-39)得 求x(t)=teat的Z变换。 例7-9 解 由于 ，所以s1=a，r1=2。根据式(7-39)计算X(z)，即 Date44例7-10 已知 ，求X