《矩阵的特征值和特征向量二次型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的特征值和特征向量二次型（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实验三矩阵的特征值和特征向量 二次型实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征 值和特征向量2、学会用MATLAB软件将二次型化 为标准型3、通过用MATLAB软件编程来判断 二次型的正定性一、特征值与特征向量 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹例1：求方阵的特征值、特征向量和迹解： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=eig(A) trace(A)V =-0.298
2、1 0.8944 0.3333-0.5963 -0.4472 0.6667-0.7454 0 -0.6667D =1.0000 0 00 1.0000 00 0 10.0000 trace(A)ans =12答： 特征值为：例2：求方阵的特征值、特征向量和迹解： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) trace(A)二、矩阵的相似对角化例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。解(1)： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) rank(V)ans =3答：A可对角化，且V =0 0.577
3、4 -0.89440 -0.5774 0.44721.0000 -0.5774 0D =1 0 00 -2 00 0 1 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1; V D=eig(A) rank(V)ans =2答：A不可对角化。解(2)：V =0 0.6325 0.45110 0.6325 0.45111.0000 0.4472 0.7701D =1 0 00 1 00 0 1下述函数可用来判断矩阵是否可对角 化，若可对角化返回1，否则返回0。function y=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2)y=0;return;e
4、nde=eig(A);n=length(A);while 1if isempty(e)return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d) A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2 trigle(A)ans =0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1; trigle(A)ans =1答：A不可对角化。 P D=eig(A)解(2)：答：A可对角化，且P =-0.5000 0.2113 0.2887 0.78870.5000 0.7887 -0.2887 0.21130.5000 -0.5774 -0.2887 0.5
5、7740.5000 0 0.8660 0D =-2.0000 0 0 00 2.0000 0 00 0 2.0000 00 0 0 2.0000二、 二次型化标准型例5：判断下列矩阵是否对称A=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0; B=A; if(A=B)fprintf(A是对称矩阵) else if(A=-B)fprintf(A是反对称矩阵)elsefprintf(A既不是对称矩阵，也不是反对称矩 阵)end endA是对称矩阵解：Matlab中二次型化成标准形的命令为： P , T = schur (A)其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)；T 为 A 的特征
6、值所构成的对角形矩阵；P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵 ， P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量 P , T = eig (A)例6：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形 A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1; P , T = schur (A)P =-0.5000 0.7071 0.0000 0.50000.5000 -0.0000 0.7071 0.50000.5000 0.7071 0.0000 -0.5000-0.5000 0 0.7071 -0.5000 P , T = eig (A)T =-1.0000 0
7、0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 3.0000答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：例7：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形 A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1; P , T = schur (A)P =0.5458 -0.0000 0.83790.5925 0.7071 -0.3859-0.5925 0.7071 0.3859T =-0.3423 0 00 0.5000 00 0 5.8423答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：三、 正定二次型的判定1. 顺序主子式判断法 求二次型 F=XAX 的矩阵 A 的各
8、阶顺序主子式 Di (i=1,2,3); 判断 Di 是否大于0 . 程序：建立函数文件 shxu.mfunction C,M =shxu(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A);C= ; M= ; for i=1:n(1)A1=A(1:i,1:i);D=det(A1);C=C D; if D0m=1;else m=0;endM=M,m;end 2、特征值判别法 求二次型 f =XAX 的矩阵 A 的全部特征 值 （i=1,2,）； 判断 是否大于 0 .程序：建立函数文件 t
9、ezh.mfunction T , M = tezh (A)n=size(A);T=(eig(A) ;M= ;for i =1:n(1)if T(i)0m=1;else m=0;endM=M,m;end例8 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵方法一 顺序主子式 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1方法二 特征值法T =0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0
10、9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A)答：此二次型是正定的。 例9 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵方法一 顺序主子式 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C =9 1134 6174 M =1 1 1 方法二 特征值法T =0.6576 65.0894 144.2530 M =1 1 1 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A); 答：此二次型是正定的。 例10 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵方法一 顺序主子式 A = 10
11、 4 12;4 2 14;12 14 1 ; C,M = shxu (A)答：此二次型不是正定的。 C =10 4 -3588M =1 1 0方法二 特征值法T =-17.4209 10.1708 20.2501 M =0 1 1 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A)答：此二次型不是正定的。 function C,M =shxuf(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0m=1;elseif D0m=1;elseif T(i) A = -1 1 2 1;1 3
12、 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; C,M = shxuf (A)答：此二次型是负定的。 C =-1 2 -6 24M =-1 1 -1 1方法二 特征值法T =-22.1991 -7.4945 -2.2421 -0.0643 M =-1 -1 -1 -1 A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; T , M = tezhf (A)答：此二次型是负定的。 1、已知矩阵(1) 求矩阵A的特征值;(2) 求矩阵A的特征值对应的全部特征向量. 习题2 判断下列方阵是否可对角化,若可对角化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵 。3、 已知二次型 f = x1x2+ x2x3+ x3x4+ x4x1(1)写出二次型矩阵A;(2)用正交变换将二次型化为标准形,并 写出所作的正交变换;5、判别下列二次型是否为负定二次型（用两种方法求，写出程序）4、判别下列二次型是否为正定二次型（用两种方法求，写出程序）
