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1、随机过程的功率谱密度回顾上一讲的主要内容n估计的质量评价l无偏性：无偏估计、有偏估计，渐进无偏估计l有效性：估计的方差，估计的均方误差l一致性：一致估计n 随机序列的数字特征估计l均值的估计 l方差的估计 l自相关函数的估计 l互相关函数的估计1随机过程的功率谱密度第四讲主要内容： 随机过程的功率谱密度 随机序列的功率谱 互功率谱 典型的随机过程 功率谱估计2随机过程的功率谱密度u随机过程的功率谱密度l功率谱密度的概念l功率谱的性质l功率谱的计算举例本节主要内容3随机过程的功率谱密度确定信号的时域和频域4随机过程的功率谱密度随机信号能否进行傅立叶变换？随机信号是否存在某种谱特性？思考：5随机过
2、程的功率谱密度随机信号的时域和频域6随机过程的功率谱密度一、 功率谱密度的概念频谱：能谱密度：回顾确定信号频谱的概念总能量能量型信号存在条件存在条件7随机过程的功率谱密度随机过程的样本函数及其截尾函数 随机信号的样本函数能量是无限的,但功率往往是有限的 .平均功率功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号8随机过程的功率谱密度随机变 量随机变 量推导：9随机过程的功率谱密度定义随机过程的功率谱密度为：对平稳和非 平稳都适应10随机过程的功率谱密度物理谱定义：功率谱密度是从频域角度描述随机过程统计特性的重要数字特征,表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值.缺陷:不含相位
3、信息11随机过程的功率谱密度二、平稳随机过程的功率谱密度维纳辛钦定理条件:平均功率有限要求均值为零若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数；若含有周期分量，则在相应的频率处有函数；1、定义 ：12随机过程的功率谱密度13随机过程的功率谱密度举例:已知谱密度为 ，求相关函数 。解、由因式分解由公式：14随机过程的功率谱密度2、 功率谱密度性质u相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平； 相关性越强，功率谱越陡窄。u对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负的偶函数；u随机过程中总的平均功率等于功率谱密度在整个频率轴 上的积分。原因？15随机过程的功率谱密度三、 平稳随机序列的功率谱密度1
4、、随机序列的功率谱密度对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度16随机过程的功率谱密度Z变换形式：收敛域由于故有17随机过程的功率谱密度2、平稳随机序列功率谱的性质u不论X(n)是实序列还是复序列， 是实函数。u如果X(n)是实序列， 是偶函数。u 是非负的，且为 的周期函数，周期为 。18随机过程的功率谱密度例、设平稳时间序列X(n)的自相关函数为求X(n)的功率谱密度 和 。 解、右端第一式在处收敛为：第二式在处收敛为19随机过程的功率谱密度20随机过程的功率谱密度四、平稳随机过程的采样定理设s(t)为确定性连续限带实信号，频带范围（-c, c ）u确定性信号的采样定理（Shannon采样定
5、理）：其中T为采样周期,小于等于 。21随机过程的功率谱密度设X(t)为零均值平稳随机过程，功率谱密度满足：则可将X(t)展开为：其中T为采样周期,小于等于 。平稳随机过程 采样定理u平稳随机过程的采样定理：22随机过程的功率谱密度功率谱密度采 样定理23随机过程的功率谱密度五、 典型的随机过程1、白噪声过程白噪声的功率谱密度和自相关函数 平稳白噪声功率谱密度：24随机过程的功率谱密度白噪声样本函数波形 白噪声相关系数：25随机过程的功率谱密度2、正态随机过程如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。一维分布特征函数26随机过程的功率谱密度n维分布特征
6、函数27随机过程的功率谱密度设X(t)是正态随机过程，若有则X(t)称为广义平稳正态过程。平稳正态过程28随机过程的功率谱密度性质 ：u对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；不相关与独立等价；u一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。u若平稳正态过程具有均匀的功率频谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足 29随机过程的功率谱密度例2、设随机过程 ， 其中A、B是两个独立的正态随机变量，且有 ， 为常数，求此过程的一维概率密度。解、显然有：可知正态过程X(t)是平稳的，其一维概率密度：30随机过程的功率谱密度例3、一零均值高斯过程X(t)，其协方差函数为：求在时刻t1=0、t2=
7、1、t3=2抽样的三维概率密度。解、 协方差矩阵为：代入公式，并令m0，N=3即得三维概率密度。31随机过程的功率谱密度六、 随机过程的功率谱估计由单个采样函数给出的平稳随机信号的功率谱密度估计称为谱分析。估计是建立在时间平均的方法上，并假定信号为遍历性的。32随机过程的功率谱密度相关法谱估计是以相关函数为媒介来计算功率谱，又称间接法。其理论基础是维纳辛钦定理。简称BT法。步骤：1、由获得的N点数据序列估计自相关函数序列；2、由自相关函数序列的付立叶变换求功率谱。1、经典谱估计相关法谱估计：功率谱估计分为非参数化方法和参数化方法，经典的方法是非参数化方法，参数化方法属于现代谱估计的研究内容。3
8、3随机过程的功率谱密度周期图法是直接将信号的采样数据x(n)进行付立叶变换求取功率谱密度估计。步骤：1、由获得的N点数据序列直接求付立叶变换，得到其频谱；2、取频谱幅度的平方，并除以N，作为其真实功率谱。周期图法：34随机过程的功率谱密度01002003004005006007008009001000-40-2002040Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Periodogram N=256 01002003004005006007008009001000-40-2002040Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Periodogram
9、 N=1024 周期图法功率谱估计N=256N=102435随机过程的功率谱密度缺陷： 周期图法得到的功率谱估计方差不随着频谱样本长度N的增加而趋于零。 分辨率问题：将实际频谱展宽，导致功率谱估计分辨率下降； 泄漏问题：强主瓣与矩形窗函数副瓣的卷积会模糊对实际频谱弱副瓣的估计。改进： 平均周期图法：方差减小K倍，主瓣增大K倍； 窗函数法：减小泄漏，降低旁瓣。36随机过程的功率谱密度分段周期图法功率谱估计N=102401002003004005006007008009001000-100102030Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Averaged Periodo
10、gram(no overlap) N=4*256 01002003004005006007008009001000-100102030Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Averaged Periodogram(half overlap) N=1024 no overlaphalf overlap37随机过程的功率谱密度加汉宁窗分段周期图法功率谱估计N=1024no overlaphalf overlap01002003004005006007008009001000-20-1001020Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Avera
11、ged Modified Periodogram(no overlap) N=4*256 01002003004005006007008009001000-20-1001020Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Averaged Modified Periodogram(half overlap) N=1024 38随机过程的功率谱密度最大熵法与加窗改进周期图法功率谱估计N=1024最大熵法加窗平均 周期图法050100150200250300350400450500-100102030Frequency (Hz)Power Spectrum (dB)Maxmum Entropy Method(MEM) Order=74050100150200250300350400450500-100102030FrequencyPower Spectrum Magnitude (dB)39随机过程的功率谱密度 假定所研究的随机过程 是由一白噪声序列 激励一因果稳定的可逆线性系统 的输出。 由观测获得的数据记录 估计 的参数。 由 的参数估计 的功率谱。2、现代谱估计参数模型法谱估计：主要问题u 确定AR模型的阶次pu 求解p阶AR模型的p+1个参数40
