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1、03 第三章 函数【讲义】1 / 6第三章 函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB是 A 到 B 上的满射。定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构
2、成的映射，记作 f-1: AB。定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA 叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为 x|x 0,xR.定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)
3、中反解 x得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y= 的反函数是 y=1- (x 0).11定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 7 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(
4、-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+ T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 8 如果实数 aa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义 9 函数的图象，点集(x,y)|y=f (x), xD称为函数 y=f(x)的图象
5、，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系( a,b0)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y= , u=2-
6、x 在21（-,2）上是减函数，y= 在（0，+ ）上是减函数，所以 y= 在（- ,2）上是增函u1x数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1数形结合法。xyx11x03 第三章 函数【讲义】2 / 6例 1 求方程|x-1|= 的正根的个数.1【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 求函数 f(x)= 的最大值。11362424 xx【解】 f(x)= ，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，22 )0()()()B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和
7、 B 距离的差。因为|PA|-|PA| |AB|= ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点10)2(3时等号成立。所以 f(x)max= .02.函数性质的应用。例 3 设 x, yR，且满足 ，求 x+y.1)(197)(32yyxx【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（- ，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，则由得 n0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m0,3
8、122)2)(512x所以 f(x)在（-，- ）上递增，同理 f(x)在- ，+）上递增。4在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y- ，+）.41若 x y，设 xy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x 4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.03 第三章 函数【讲义】4 / 6三、基础训练题1已知 X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映
9、射 f：XY 满足：对任意的 xX，它在 Y 中的象f(x)使得 x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。2给定 A=1，2，3，B=-1，0，1和映射 f：XY，若 f 为单射，则 f 有_个；若f 为满射，则 f 有_个；满足 ff(x) =f(x)的映射有_ 个。3若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点（-1，-1） ，则图象与直线一共有_个交点。4函数 y=f(x)的值域为 ，则函数 g(x)=f(x)+ 的值域为_。94,83)(21xf5已知 f(x)= ，则函数 g(x)=ff(x)的值域为_。16已知 f(x)=|x+a|，当 x3 时 f(x)为增函数，则
10、 a 的取值范围是_。7设 y=f(x)在定义域（ ，2）内是增函数，则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数 y= (x)存在反函数 y= -1(x)，则 y= -1(x)的图象与 y=- (-x)的图象关于直线_对称。9函数 f(x)满足 =1- ，则 f( )=_。f12110. 函数 y= , x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域：（1）y= ; (2)y= ; (3)y=x+2x11x; (4) y=x.21x12. 已知 定义在 R 上，对任意 xR, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当 x2,3时，)(ff(x)=x，则当 x-2,0时，求
11、f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知 a , f(x)定义域是（0,1，则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。0212设 0a0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)= ，求证：f(x) 为周期函221数。11设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 ，（0，a 1,F(x)是奇函数，则 G(x)=F(x) 是_（奇偶性）.21a3若 =x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F( x)；F(-x )= 1；F(x -1)=F(x)；F(F( x)=-x.4.设函数 f：RR 满足 f(0)=1，且对任意 x,yR，都有 f(xy+1
12、)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则 f(x)=_.5已知 f(x)是定义在 R 上的函数， f(1)=1，且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= _.6. 函数 f(x)= 的单调递增区间是_.3217. 函数 f(x)= 的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非） 。x8. 函数 y=x+ 的值域为_.29设 f(x)= ,31对任意的 aR，记 V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求 V(a)的最小值。10解方程组： （在实数范围内）zy221.1
13、1设 kN+, f: N+N +满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意 nN+, 有 ff(n)=kn，求证：对任意 nN+, 都有 nf(n)k.1k六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f，满足：（1）对任意 x0, f(x)=xf；（2）对所有的 x- y 且 xy0，有 f(x)+f(y)=1+f(x+y).x2.设 f(x)对一切 x0 有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意 x0, f(x)f03 第三章 函数【讲义】6 / 6=1，试求 f(1).xf1)(3. f:0,1R 满足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f
14、 (1)=1；（3）当 x, y, x+y0, 1时，f(x)+f(y)f(x+ y)，试求最小常数 c，对满足（1） ， （2） ， （3）的函数 f(x)都有 f(x)cx .4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数 p,q(0, 1)，有 p+q1p 2+q2，试求 f(x)=(1-x) +2p在1-q,p上的最大值。22)1q6已知 f: (0,1)R 且 f(x)= .qpqxQ0,1)(,1当 x 时，试求 f(x)的最大值。98,77函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)= ，求 f(100)的值。)10()5(3nf8函数 y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角 后不变。 （1）求证：2方程 f(x)=x 恰有一个解；（2 ）试给出一个具有上述性质的函数。9设 Q+是正有理数的集合，试构造一个函数 f: Q+Q +，满足这样的条件：f(xf( y)=x, yQ+.)
