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1、符号表达式及其应用微积分基本运算Taylor级数展开常微分方程求解第3章 高等数学计算MATLAB的符号计算在数学、物理及各类工程应用中, 除了数值计算外, 还常常需用符号计算. 一般的计算机语言平台只能 实现数值计算, 早期的MATLAB也不能实现符号计 算。1993年MathWorks公司购买了MAPLE的使用 权,并开发出实现符号计算的工具箱Symbolic Math Toolbox. 符号计算需要使用专门函数，功能包括有微积分、 线性代数、方程求解、积分变换等。在MATLAB数 值计算和字符串操作中,变量通过赋值语句创建.但 是符号计算中的变量在使用前，必须要用关键词 syms (或其
2、它函数)创建。2/16例1. 用符号表达式定义 f = e 0.2x sin (0.5x)并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,2*pi)3/16syms 符号变量1 符号变量2 f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x)ezplot( f )绘表达式f=f(x)的图绘图区域-2*pia时的极限symsum(f,k,m,n) 求级数7/16求极限运算求一个数学表达式的极限用命令limit ，使用格式如下limit(F,x,a)这一命令的功能是求出符号表达式F当x a.的极限。（ 1） limit(F,a) 使用与
3、x最接近的英文字母作为自变量 ；（ 2） limit(F) 使用 a = 0 作为自变量的极限点。求表达式的左极限和右极限命令分别为LIMIT(F,x,a,right)LIMIT(F,x,a,left)例18、 求极限 syms x a t h; p1=limit(sin(x)/x) p2=limit(x-2)/(x2-4),2) p3=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)p4=limit(1/x,x,0,right)p5=limit(1/x,x,0,left)%定义符号变量%求第一个极限%求第二个极限%求第三个极限%求第四个极限%求第五个极限 p6=limit(sin(x+h
4、)-sin(x)/h,h,0)v = (1 + a/x)x, exp(-x); p7=limit(v,x,inf,left)%求第六个极限%定义向量函数%求第七个极限得：函数的台劳（taylor）级数展开一元函数f(x) 的台劳（taylor）级数展开命令格式为taylor(f，n，a)其中，f为函数表达式，n确定级数最高项次数为(n 1)， a指定函数在某一点展开。taylor(f) 得到函数f.的五阶麦克劳林多项式逼近；taylor(f,n) 得到函数f.的(n-1)阶麦克劳林多项式逼近taylor(f,a) 得到f的关于点a的台劳多项式逼近。taylor(f,x) 使用自变量x做台劳级数
5、展开。 例19、 对下列函数做台劳级数展开（1）e-x在 x=0处作5阶展开，（2）ln x 在x =1处作5阶展开 ；（3）sin x在x =/2 处5阶展开；（4）xt 在 t =0处作2阶展开 。 syms x tT1=taylor(exp(-x)returns 1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5T2=taylor(log(x),6,1)x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5T3=taylor(sin(x),6,pi/2)1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4T4=ta
6、ylor(xt,3,t)1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t2得：例9. 麦克劳林展开函数 syms x f=1/(5+4*cos(x) T=taylor(f,8) Pretty(T)2 4 49 61/9 + 2/81 x + 5/1458 x + - x131220例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x) 关于x的导数syms x f=1/(5+4*cos(x) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1)f1 =4/(5+4*cos(x)2*sin(x)可视化符号函数分析界面1、单变量函数分析的交互界面单变量函数分析界面用于考察两个一元函数各自
7、性质 及其相关关系。该函数计算器由funtool.m文件生成。 在MATLAB命令窗口中键入命令 funtool系统将产生三个新窗口。其中，1号和2号窗口（ Figure No. 1，Figure No. 2）是函数曲线窗口，3号窗 口（Figure No. 3）是函数运算控制器。系统初始状态 时时刻，三个窗口中只有3号窗口处于激活状态，另两 个处于睡眠状态。用鼠标单击1号（或2号）窗口，可 激活该窗口，同时使原处于激活状态的窗口转换到睡 眠状态。第一个文本框中的函数f(x)换为 ，第二个文本框中的函数g(x)换为则另两个窗口的函数图形会发生变化，如下图所示。swap 交换 f(x) 和g(x
8、). cycle 顺序演示典型函数表中函数insert 将当前函数插入典型函数表中代演示 help 帮助文件delete 将1号窗口中函数从典型函数表中删除 demo 自动演示reset 返回初始演示状态 close 关闭函数计算器例5.求函数 的渐近线、极值、拐点，并作图.8/16syms xn=3*x2+6*x-1；d=x2+x-3; f=n/d; limit(f,inf) ans=3 roots=solve(d) roots=-1/2+1/2*13(1/2)-1/2-1/2*13(1/2)ezplot(f) hold on plot(-2*pi 2*pi,3 3,g) plot(doub
9、le(roots(1)*1 1,-5 10,r) plot(double(roots(2)*1 1,-5 10,r) title(水平渐近线和垂直渐近线) hold offf1=diff(f); c=solve(f1) c= -8/3-1/3*13(1/2)-8/3+1/3*13(1/2) ezplot(f) hold on plot(double(c),double(subs(f,c),ro) title(函数的极大值和极小值) text(-5.5,3.2,局部极小值) text(-2.5,2,局部极大值) hold offf2=diff(f1); q=solve(f2); double(q
10、) ans=-5.2635-1.3682-0.8511i-1.3682+0.8511i q=q(1); ezplot(f,-9 6) hold on plot(double(q),double(subs(f,q),ro) title(函数的拐点) text(-7,2,拐点) hold off例7. 计算不定积分 syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); int(f,x); pretty(ans)b exp(a x) cos(b x) a exp(a x) sin(b x)- - + -2 2 2 2a + b a + b g=simplify(ans)g =exp(a*x
11、)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2)例8.绘函数 (a = 1, b = 3 )在0,3.2上的图形. 并计算 syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x) f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3) ezplot(f1,0,3.22) F1=simplify(int(f1,1,2) double( F1 ) ans =-3.1806例10、 计算定积分 ， ，syms x y t q1=int(sin(x)+2,0,pi/6) q2=int(xy,y,0,pi/3)q3=int(4*x*t,x,2,sin(t) %定义符号变量%
12、求第一个积分%求第二个积分%求第三个积分得：q1 =-1/2*3(1/2)+1/3*pi+1q2 =(x(1/3*pi)-1)/log(x)q3 =2*t*(sin(t)2-4)即：例3.12 计算二重积分syms x y f=x2*sin(y); int(int(f,x,0,1),y,0,pi) ezmesh(f,0,1,0,pi)ans = 2/3 定积分数值计算命令 quad(f, a, b) 例3.14 计算积分上限函数值 f=inline(x.3./(exp(x)-1); x=eps:.1:5;y=f(x);fill(0,x,5,0,y,0,c) x=eps:0.1:10;y=f(x
13、);line(x,y) q(1)=quad(f,eps,1); for k=1:4line(k,k,0,f(k);q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1); end qt 1 2 3 4 5F(t) 0.2248 1.1764 2.5522 3.8771 4.8999f=inline(exp(x).*sin(3*x)quad(f,1,2)ans = -3.1806计算定积分:例9.级数求和运算 S=symsum(f，n，a，b) 例11.计算级数S2=symsum(k2,k,1,n); factor(S2)S2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)syms k n S1=symsu
14、m(k,k,1,n);factor(S1)S1 =1/2*n*(n+1)S3=symsum(1/k2,k,1,inf)S3=1/6*pi212/ 16命令格式：dsolve(eq1,con1,x) y的一阶导数 Dy, y的二阶导数 D2y例10.解微分方程14/16y = dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0) = 0,x) y =2*x/(2*x2+2)符号解：y(x)= x / (1 + x 2) 旋转曲面绘制方法非负函数 y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面 的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以x为对称 轴的旋转曲面，方程为 绘制网面需创建三维坐标 矩阵,对某一确定的x=t,旋 转曲面上对应于过点x=t 垂直于X轴的圆,该圆周上 所有点的X坐标不变，y和 z的坐标则满足圆的方程 f=inline(exp(-0.2*x).*sin(0.5*x); t=(0:20)*pi
