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1、 二次曲线线小结结曹杨职杨职 校授课课 人： 陈陈开运二次曲线小结二次曲线线小 结结附录二次曲线发展史目标诊断题纲要信号图表学习导航与要求概念的精细化曲线的个性与共性技巧与题型归类圆椭圆双曲线双曲线抛物线双曲线定义的盲点双曲线的渐近线离心率分析直线与双曲线关系几种曲线定义一般二次方程的讨论曲线与方程Excel作图曲线的切线观看网上动态曲线圆圆的学习习要求和导导航n学习要求：n掌握由圆的定义推导圆的标准方程， 理解参数 a,br的几何意义，掌握一般 方程和标准方程的互化，用圆方程解 决有关问题，解决直线与圆、圆与圆 的位置关系。n学习导 航：n圆的定义与标准方程 圆的几何定义 n几何量间的关系d
2、(P,M)=r 代数 等式 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,a,b,r的意义 。n由(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Eyn+F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较，得出圆方程 A=C0，B=0 ， 且D2+E2-4F0nx2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2 ）n半径 r= n圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径rn直线 Ax+By+C=0,dr相离，d=r相切，dr1+r2位置 关系同心内含内切相交外切外离继续圆的公式 图形直角坐标方程参数方程过圆 上一点（ x0,y0)的切线圆圆心在原点，半径为为 rx2+y2=r2* x=
3、rcosy=rsinx0x+y0y=r2圆心在(r,0),半径为rx2+y2=2rx* x=r(1+cos)y=rsinxox+yoy=r(x+xo)圆心在（a,b),半径为r(x-a)2+(y-b)2=r2* x=a+rcosy=b+rsin(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2圆心在(-D/2,-E/2),半 径为x2+y2+Dx+Ey+F=0x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2 +F=0*过三点A(x1,y1)， B(x2,y2)C(x3,y3)的圆x2+y2 x y 1x12+y12 x1 y1 1x22+y22 x2 y2 1 =0x32+y32 x3
4、 y3 1 *过圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+n(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0其中m,n不同时为零回主页椭圆 的学习要求与导航n学习要求n知道椭圆定义并推出椭圆标准方程， 理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意 义。n能灵活应用椭圆定义、方程及性质解 决问题（椭圆作图）。n学习导航n椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆 所特有的，与坐标无关。 ab0,c2=a2- b2,(e=c/a)必须牢固掌握。n椭圆的性质（有心、封闭的曲线）， 椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆
5、） 对称性的判别，与坐标轴的交点。n特别：n1.椭圆的焦点一定在长轴上，n2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为 斜边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2 。n3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表 明焦点就在x轴（或y轴）。n直线与椭圆的位置关系：n把直线与椭圆的方程组消元后 得一元二次方程，它的判别式 0直线与椭圆相交n=0直线与椭圆相切n 0n离心率取值范围：椭圆：2c2a,得 e1,按 抛物线定义，e=1。n离心率与圆周率是几何中的两大比 率，它们的共同特点：均为两个定 量的有序之比，区别在于前者适用 于二次曲线，后者只适用于圆；e 值有相对的任意性（可变），却 具有唯一性（
6、无理常数）。n离心率深刻揭示了二次曲线的实质 ，沟通了它们的关系。椭圆，双曲 线，抛物线三者关系密切，是同一 定义n下的不同表现。三种曲线可统 一定义为：平面内到一定点和 一定直线的距离之比等于常数e 的动点轨迹叫二次曲线。n建立适当的坐标，轨迹上任一 点M(x,y),定点F(p,0)所以n 整理即得n（1-e2)x2+y2-2px+p2=0当 01方程分别是椭圆 ，抛物线，双曲线。n“对立统一，量变到质变”ne 0椭圆 圆，e 1, 椭圆变得愈来愈扁，e=1为抛物 线，e1为双曲线，e 增大，则nb/a= 也变大，双曲线开 口变大，反之，开口变小。 E 趋向于1时，渐近线倾斜角近于 0。回主
7、页圆锥曲线（圆锥截线）点（点圆 ）圆椭圆双曲线抛物线圆锥曲线退化为两条直线， 一条直线你能说说出截面的 条件吗吗？圆锥圆锥 的顶顶角影响 曲线线形状吗吗？回主页继续二次曲线的发展 史n公元前四世纪，古希腊学者梅纳科莫 斯最早通过截割圆锥的方法得到三种 不同类型的曲线椭圆（圆）、双曲 线、抛物线，统称圆锥曲线。许多学 者继续研究这一课题，最有成就的是 生于小亚细亚佩加城的阿波罗尼，他 将自已的成果写成八大卷的圆锥曲 线论，成为这一课题的经典文献。n十六世纪，著名天文学家开普勒发现 行星按椭圆形轨道运行，著名天文学 家伽里略证明了不计阻力的斜抛运动 的轨迹是抛物线。这说明了圆锥曲线 并不是附生于圆
8、锥之上的静态曲线， 而是自然界中物体常见的运动形式。n1629年，法国数学家费马在平面和 立体轨迹引论一书中，运用斜角坐 标研究圆锥曲线，证明了圆锥曲线的 方程都是含有二个未知数且最高次幂 是二次的方程。反之，一般二元二次 方程点的轨迹是圆锥曲线。1655年， 英国数学家沃利斯在圆锥截线论 中，干脆把圆锥曲线叫作二次曲线。n1748年，著名数学家欧拉在无穷小 分析引论一文中，详细讨论了形如 ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0n的一般二次方程，证明经过平移、转 轴变换，任何一个二次方程可以化为 椭圆（圆）、双曲线、抛物线及它们 的退化形式，所以二次曲线就是圆锥 曲线。回主页椭圆 双曲线
9、抛物线基本性质椭圆椭圆双曲线线抛物线线图图形标标准方程 （abo) (a0,b0)y2=2px中心（0，0） 有心 封闭曲线（0，0） 有心开放曲线无心曲线顶顶点（a,0),(0,b)(a,0)轴轴对称轴：x轴，y轴 长轴 ：2a 短轴：2b对称轴：x轴，y轴 实轴 ：2a 虚轴：2b对称轴：x轴焦点F1(-c,0) F2(c,0) |F1F2|=2cF1(-c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c F(p/2,0)离心率 e=c/a 0 e1e=1范围围|x|a,|y|b 封闭曲线|x|a. yR 开放曲线x0,yR 开放曲线准线线 x=a2/cx=a2/c 渐进线 y=bx/ax=-p
10、/2回主页一些常用技能技巧的梳理n在巩固求曲线方程、应用曲线方程 的基础上，练习常用的技能技巧， 提高解题能力。n建立适当的坐标系应用解几方法解题，必须建立坐标系 ，而且选定恰当的坐标系（一般是 以原点、坐标轴对称的，或以原点 为起点），简化曲线方程。 2.充分利用圆锥曲线特有的几何性质。 例如：m为何值时，直线2x-y+m=0和圆 x2+y2=5无公共点？截得弦长 为2？交点处两条半径互相垂直 ？ 解：圆心（0，0）到直线距离d= 圆半径r= , 时即m5时圆和直线无公共点。弦 过中点的半径垂直于弦r2-d2=1即 5-m2/5=1当m= 时圆在直线 上截得弦长为2 此时弦与过n弦两端的半径
11、组成等腰直角三角形nn时过弦两端的半径互相垂直。3 .圆锥曲线定义的应用有些题目从表象上看较难，但用圆锥曲 线定义解题，问题迎刃而解。继续一些常用技能技巧的梳理n如图n双曲线方程 的左焦点 作弦交曲线于A，B，连接AF2和 BF2，求|AF2|+|BF2|-|AB| 的值n解：|AF2|-|AF1|=2a=8, |BF2|- |BF1|=2a=8, |AF2|+|BF2|-|AB| 的值 为16。n曲线系方程的应用n方程f1(x,y)+f2(x,y)=0表示的曲线 经过曲线f1(x,y)=0和曲线f2(x,y)=0 的交点（A1x+B1y+C1)+（A2x+B2y+C2)=0表 示过直线A1x
12、+B1y+C1=0,A2x+ B2y+C2=0的 交点的一系列直线。你能写出圆系列方程和双曲线系列方 程吗？ 例题：一个圆经过已知圆x2+y2-x+y- 2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直 线3x+4y-1=0上求圆方程。 解：设所求圆方程为（ x2+y2-x+y-2）+ (x2+y2-5)=0即 （1+）x2+(1+)y2-x+y-(2+)=0 其圆心为（1/（2+2），-1/（2+2） ） 在已知直线上， 得=-1.5,所求方程为： X2+y2+2x-2y-11=0前一页继续一些常用技能技巧的梳理n韦达定理的应用： 例题1：已知直线l 过（1，0）点，倾斜 角为/4，求 l在椭圆x2
13、+2y2=4 上截 得的长？ 解：直线方程为y=x-1代入椭圆方程 x2+2y2=4 ，得3 x2 -4x-2=0 设所截交点为AB|AB|2 =（x2-x1)2+(y2-y1)2=2（x2-x1)2 =2(x2+x1)2 -4 x2x1 )=80/9|AB|=回主页继续一般二次方程的讨论n一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 经过旋转变换，适当选取角，化成nAx2+Cy2+Dx+Ey+F=0n关键看AC是否有一个为零？都不为零 时它们是同号还是异号来决定。经过变 换，-4AC=B2-4AC。= B2-4AC为二次 方程判别式。方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0条
14、件类型一般情况特殊情况B2-4AC0双曲线型双曲线两条相交直线B2-4AC=0抛物线型抛物线两条平行线或一条直线或没有轨迹回主页课堂训练题选择题 1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的 椭圆 ， 那么实数k 的取值范围是： A.(0, ）B.(0,2) C(1,）D（0，1）2.焦点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是： A.y2=8(x+1) B. y2=-8(x+1) C. y2=8(x-1) D. y2=-8(x-1)3.椭圆x2+9/5 y2=36的离心率为: A.1/3 B.2/3 C.1/2 D.3/4 4. 设椭圆 的两个焦点分别是F1和 F2, 短轴的一个端点是B,则B F1 F2的周长是: A. B. C. D.5.若抛物线y2=2x上一点到焦点距离为5，则该点的坐标是：A.(4,2 )或（4,-2 ）B.(5, )或（5,- )C.(4.5,3)或（4.5,-3) D(6,2 )或（6,-2 )6.以坐标轴为对称轴，中心在原点，实轴长为10，焦距为12 的双曲线方程是：A.x2/25 -y2/11 =1 或.y2/25 x2/61 =1B. .x2/25 -y2/11 =1 或y2/25 x2/11 =1C. x2/61 -y2/25 =1
