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1、八年级数学（下册） 第六章 证明(一)回顾与思考驶向胜利 的彼岸直观是把“双刃剑”w直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗?回顾与思考ab cdaba bw每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. w一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结 论. w正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而
2、不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).“原名” 知多少w定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . w命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).回顾与思考w原名:某些数学名词称为原名.w公理:公认的真命题称为公理(axiom). w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w本套教材选用如下命题作为公理 : w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; w2.两条平行线被第
3、三条直线所截,同位角相等; w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; w5.三边对应相等的两个三角形全等; w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.“原名” 知多少回顾与思考平行线 的判定w公理: w同位角相等,两直线平行. w 1=2, ab.w判定定理1: w内错角相等,两直线平行.w 1=2, ab.几何的三种语言w判定定理2: w同旁内角互补,两直线平行. w 1+2=1800 , ab. abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 平行线 的性质w公理: w两直线平行,同位角相等. w ab, 1=2.w性质定理1:
4、 w两直线平行,内错角相等.w ab, 1=2.几何的三种语言w性质定理2: w 两直线平行,同旁内角互补. w ab, 1+2=1800 . abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 在判定两条直线平行的方法中， 已经知道了什么？得到的结果是什么？图形已知结果结论同位角内错角同旁内角a/ba/ba/b同位角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行同旁内角互补 两直线平行122324）abababccc 在平行线的性质中， 已经知道了什么？得到的结果是什么？a/b两直线平行 同位角相等a/b两直线平行 内错角相等a/b两直线平行 同旁内角互补判定判定判定性质性质性质三角形内
5、角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 1800. wABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形: wA=1800 (B+C). wB=1800 (A+C). wC=1800 (A+B). wA+B=1800-C. wB+C=1800-A. wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考ABC关注三角形的外角w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. w推论3: 直角三角形的两锐角互余.wABC中: w1=2+3; w12,13.三
6、种语言ABCD1234w这个结论以后可以直接运用.驶向胜利 的彼岸学好几何标志“ 证明”w证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); w(2)根据题意,画出图形; w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“ 因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程; w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考w1.如图：将正方形的四个顶点用 线段连接，什么样的线段最短？ 研究发现，并非对角线最短，而 是如图所示的连法最短
7、（即用线 段AE，DE，EF，BF，CF把四个顶 点连接起来） .w已知图中DAE=ADE=300，AEF=BFE=1200 . w你能证明此时的ABEF吗？. w证明：DAB=900(正方形性质) ，DAE=300(已知)， wBAE=600(等式性质). wAEF=1200(已知)， wBAE+AEF=1800(等式性质) . w ABEF(同旁内角相等，两直线平行).心动 不如行动ABCD1题图EF“行家”看“门道”2+4=1800 ( 两直线平行，同旁内角互补).我最棒w2.已知：如图，直线 a,b被 直线c所截，ab.w求证：1+2=1800. w分析:要证明1+2=1800，只 要
8、证明1与2是同旁内角或为 邻补角即可. bac212题图心动 不如行动证明1: ab(已知)，w 2=3 (两直线平行，内错角相等).3又1+3= 1800 (平角意义), w 1+2= 1800 (等量代换). 证明2: ab(已知)， w 1=4 ( 对顶角相等)，w 1+2= 1800 (等量代换). 4我最棒w3.已知:如图，1+2=1800. w求证: 3=4.w分析:要证明3=4，只要证 明CDEF ；而由1+2=1800 ，可得1+5=1800.从而可得 CDEF . 心动 不如行动41 2 3OCEABFD3题图w证明: 1+2=1800 (已知) ， 5w 5=2(对顶角相等
9、)， w 1+5=1800 (等量代换). w CDEF (同旁内角互补，两直线平行).3=4(两直线平行，同位角相等).我能行w5. “作一个立方体使它的体等于已知立方体体积的2倍”， 这是数学史上一个著名问题.在探索这一问题的过程中，有 人曾用过如图所示的图形.其中,ABBC,BCCD， ACBD，2PD=PA,如果A= .那么，ABP和PCD等于 多少？ w解: ACBD(已知),w PCD=A= (两直线平行，内错角相等).w A= (已知),w DCB=900(垂直意义). ABBC (已知) ,心动 不如行动ACDB5题图Pw ABP =900 - (直角三角 形两锐角互余).AB
10、C=900 (垂直意义).又 DCBC (已知) ,1w ABDC(同旁内角互补，两直线平行).你认识 外角吗?w已知:国旗上的正五角星形如图所示. w求:A+B+C+D+E的度数.随堂练习P212解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. 1=B+D(三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和).又A+1+2=180(三角形内角和定理).又 2是EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180(等式性质).你认识
11、外角吗?w已知:如图所示，P是ABC内一点. w求证:(1)BPCA; w(2) BPC=A+ABP+ACP.B组5题P217证明(1):延长BP交AC于点E. BPC是PCE的一个外角 (外角意义), BPCCEP(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角). PECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). BPCA (不等式的性质). PEC是ABE的一个外角 (外角意义),BCAPE你认识 外角吗?试一试P213证明(2): BPC是PCE的一个外角 ( 外角意义), BPC =PCE+CED(三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和). PEC=A+ ABE(三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个外角的和). BPC=A+ABP+ACP (等式的性质). PEC是ABE的一个外角 (外角意义),BCAPEw已知:如图所示，P是ABC内一点. w求证:(1)BPCA; w(2) BPC=A+ABP+ACP.知识的升华独立 作业P214复习题A组 16题;祝你成功！结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 由“因”导“果”,执“果”索“因 ”是探索证明思路最基本的方法. 言必有据,因果对应.是初学证明者谨 记和遵循的原则.下课了!
