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1、第五节 控制系统的根轨迹分析法Date1利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正v 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；v 分析参数变化对系统稳定性的影响；v 分析系统的瞬态和稳态性能；v 根据性能要求确定系统的参数；v 对系统进行校正。Date2一、 条件稳定系统的分析 例4-11：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 的区值范围。 开环极点：0，-4，-6， ，零点： 实轴上根轨迹区间： 渐进线：与实轴的交点：倾角 ：解根据绘制根轨迹的步骤，可得：Date3 分离角（点） ：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-
2、2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由 ：可以求得分离点 。近似求法：分离点在-4，0之间。Date4 入射角： 与虚轴的交点（略）。这时的增益值：由图可知：当 和 时，系统 是稳定的（为什么？） ；当 时，系统是不稳定的。左图是用Matlab工具绘 制的。Date5条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。v 具有正反馈的环节。下面的系统就是条件稳定系统的例子：v 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面；Date6例非最小相位系统： ，试确定使系统 稳定时的增益值。解：根轨迹如
3、右 ：有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 。闭环特征方程为： ，当s=0时， ，所以，系 统稳定的条件是：Date7二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系 统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面上的分布如右图 ：闭环极点的张角 为：所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线 。Date8我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整 时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围 的
4、区域中，有：Date9上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例 ：例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定 开环放大系数。解：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 当 时， 闭环系统不稳定 。 Date10下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当 时解得： 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加 ，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似 计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18
5、%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数k。设A点坐标为： ，则 ：（1 ）相角条件为 ：（2） Date11由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为： 。计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：解得：开环传递函数以 的形式表示时，k称为开环放 大系数。显然 的关系为： ，式中 不计0极点。所以，开环放大系数 ：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为：Date12特别提示：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。q 一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨 迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。Date13Dat
6、e14q 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。 从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。Date15Matlab参考书推荐：q 现代控制工程，美Katsuhiko Ogats,卢伯英译，电子工业出版社q MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著，国防工业出版社三、用Matlab绘制根轨迹Date16num=0 0 0 1;%开环传递函数分子系数，降幂排列den=1 3 2 0; %开环传递函数分母系数，降幂排列r=rlocus(num,den);例子系统的开环传递函数为： ，试利用 Matlab画出系统的根轨迹。解打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：执行之，可
7、得到根轨迹。Date17例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。 解：（1）画根轨迹 ：Date18q 求出射角： ，得 。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点 -1处；另两条从原点以 的出射角起始，分别终止于-3和无穷 零点处。q 会合分离点：由方程得解得在根轨迹上，因此是会合点。 不在根轨迹 上，舍去。Date19q 求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当 时，由辅助方程 ，可求出根轨迹与虚轴 的交点为 。（2）由劳斯表可知当 时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜
8、坡输入的稳态误差为零。Date20q 画根轨迹 分离（会合）点 分别为-2.93和-17.07 ，分离（会合）角为 90度。根轨迹为圆， 如右图所示。例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的 阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统 性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。Date21q当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方 程为 ，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得 由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。 Date22q 对于分离点 ，由幅值条件可知对于会合点 ，
9、有由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对不等 的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 时 ，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。 当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点， 瞬态响应又呈过阻尼状态。Date23q 由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线 OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此 时系统的闭环极点为 。Date24例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹， 如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点 。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。Date25系统A和B的闭环传递函数分别为：解
10、：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传 递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B 的开环传递函数为：特征方程为：Date26由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为： 。系统B的前向通路传递函数为： ，反馈通路 传递函数为： 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为： ，闭环方块 图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。图(a) A系统 图(b) B系统根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但 闭环零点却不一定相同。 Date27例4-16:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。 （1）写出该系统
11、的闭环传递函数； （2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。 Date28解： 由根轨迹图知系统的开环传递函数为：单位反馈系统的闭环传递函数为：提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加 入零点后，将使根轨迹左移，有利于系统的稳定性。 当在系统中加入比例微分控制时，开环传递函数增加了一个 零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为： ，只要渐近线与负实轴相交,系 统的根轨迹就在左半S平面。因此有：，所以 。Date29从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。 a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。clear all;num1=0 0 1 3;den1=1 6 0 0;num2=0 0 1 5;den2=1 6 0 0;num3=0 0 1 7;den3=1 6 0 0;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3)作业：4-7，4-10，4-11Date30小结q 条件稳定系统的分析 临界稳定增益的确定；q 瞬态性能分析和开环系统参数的确定阻尼角和等阻尼线；超调量、调整时间与闭环极点的关系；根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数 ；开环零、极点对根轨迹形状的影响。q 用Matlab绘制根轨迹的方法Date31
