大学物理刚体力学基础

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1、Xian Jaotong UniversityChapter 5. 刚体力学基础Xian Jaotong UniversityIntroduction主 题刚体的转动定理, 转动动能, 角动量特殊质点系角量代替线量 牛顿定理为基础研究方法转动定理 转动动能 角动量5.1 刚体和刚体的基本运动5.1.1 刚体的概念在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。1.理想化模型2.特殊的质点系物体质点间的距离保持不变5.1.2 刚体的运动1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行 r讨论: 说说日常生活中刚体平动的例子r说明:r讨论:你认为哪些东西可以看作刚体

2、r平动的运动学规律:刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动xyzOABMzIIIP2. 刚体绕定轴的转动转轴固定不动 定轴转动刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _ 刚体转动r 转动的运动特点: 转角相同,位移不同.角量相同,线量不同定义角量描述转动3. 刚体一般运动例: 空间旋转,滚动刚体一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动5.1.3 刚体定轴转动的角量r 说明: 1.角坐标:2.角位移:3.角速度:4.角加速度:1.角速度，角加速度在本质上是矢量2.角速度方向按右手螺旋法则定义。3.角速度增加时，角加速度与其同向，否则，反向4.定轴转动用正负号表达角速度(投影)方向

3、。P 当与质点的匀加速直 线运动公式相似M刚体 zOrMr 讨论：1.匀加速转动的角量关系:2.角量与线量的关系:5.2.1 力矩5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程v力改变质点的运动状态质点获得加速度v力矩改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度1.力对O点的力矩O .大小:方向: 右手螺旋法则确定矢量表示:作用:可使物体绕过O点的一转轴产生转动，且转轴方向 就是力矩的方向。特别：当力的作用线通过o点时，对O点力矩为零2. 力 F 对z 轴的力矩hA（1）力F 在垂直于轴的平面内过转轴的力和平行于转轴的力都不会对该转轴产生力矩. 大小:力乘力臂切向分力乘r方向: 右手螺旋法则确定矢量表示:（2）

4、力F 不在垂直于轴的平面内分解:对该转轴无力矩； 的力矩：例:试证两个质点间相互作用的内力对转轴的合力矩为零。因两叉积矢量夹角为零，所 以： ijr 结论：内力的力矩矢量和为零。5.2.2 刚体定轴转动转动定理第 k个质元切线方向在上式两边同乘以 rk对所有质元求和fk内力矩之和为0转动惯量 Jrk刚体转动定理r与牛顿第二定律比较：5.2.3 转动惯量定义质量不连续分布r质量连续分布v确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置r J 与刚体的总质量有关例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxMv物理意义: 转动惯性的量度r J 与质量分布有关例如圆环绕中

5、心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxMr 平行轴定理及垂直轴定理 zL CMzzr J 与转轴的位置有关 刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离(1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解 (1)(2)两者区别5.2.4 转动定律的应用举例例求一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图)一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2

6、的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（ 设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）例求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析滑轮 m：物体 m1：物体 m2：5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理5.3.1 绕定轴转动刚体的动能zO的动能为刚体的总动能P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半r结论5.3.2 力矩的功O(1)作用于P点某一外力(矩)的功:（力矩做功的微分形式）对一有限过程若 M = C力的累积过程力矩的空间累积效应. P(仅需考虑F的功)设:(2) 合力矩的功:设:有5.3.3 转动动能定理 合力

7、矩功的效果对于一有限过程绕定轴转动的刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚 体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理(1) 力矩的功就是力的功。(2) 内力矩的功之和为零。r 说明因:例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求 它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解Olm Cx5.4.1 质点动量矩定理和动量矩守恒定律1. 质点的动量矩(对O点)其大小质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关特例：质点作圆周运动5.4 动量矩和动量矩守恒定律OS 惯性参照系角动量例 一质点

8、m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 md1d2d3ABC解(质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式)2. 质点的动量矩定理质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量r 说明 冲量矩是质点动量矩变化的原因质点动量矩守恒3. 质点 动量矩守恒定律冲量矩5.4.2 刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩O刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有相同的方向(所有质元对 Z 轴的动量矩之和 ) r 说明转动问题中,常

9、以角动量称呼代替的动量矩称呼。大小:方向:右手螺旋判定2. 刚体定轴转动的动量矩定理对定轴转动刚体，Jz 为常量。（动量矩定理积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律对定轴转动刚体动量矩定理 微分形式r 说明 你能列举实际生活中角动量守恒的例子吗?动量矩守恒举例花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。Xian Jaotong University1. 合力是质心速度改变的原因2. 合力矩是刚体转动速度改变的原因 两类物理量的对应性平 动 转 动位移角位移速度角速度加速度角加速度惯惯性质质量转动惯转动惯 量力力矩动动量角动动量平动动动动 能转动动转动动 能

10、例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 。解其中m子弹、细棒系统的动量矩守恒*5.4.3 旋进(进动)高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动对O点，陀螺的动量矩近似为动量矩定理由于因而只改变方向，不改变大小(进动) 进动角速度而且所以以上只是近似讨论，只适用高速自转，即动量矩定理Xian Jaotong UniversityReading material 对称与守恒在上帝的眼里，对称是美丽的重要因素之一。因此，大 自然中的对称美随处可见。植物的叶子几乎都是左右对称的 形状，蝴蝶的

11、美丽和它的体态花样的左右对称是分不开的， 飘落的雪花更是分布成六角对称。似乎人类也早已领悟到对 称之美，我国西安半坡遗址出土的远古陶器，不但具有轴对 称性，而且表面还有许多对称的优美花纹。故宫的每座宫殿 都是以中线为界左右对称的，而整个建筑群也基本上是以南 北中心线为界按东西对称分布的。天坛则更具有严格的对于 中心轴的转动对称。说到对称，大家好像都理解其含义，但实际上也还都是 直观的认识。1951年，德国数学家魏尔给出了空间对称的严 格定义：对一个事物进行一次变动或操作，如果经此操作后 ，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是空间对称 的；Xian Jaotong University而该

12、操作就叫对称操作。由于操作方式的不同而有若干种不 同的对称性。1 . 镜象对称: 镜象对称就是物体和其在平面镜中的反射象对称。设x轴 垂直于镜面且原点位于镜面上，若x变换为-x，两点图形对 称，就是镜象对称；而这种变换也叫空间反演操作。2 .转动对称:如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来 一模一样，这种对称就称转动对称或轴对称。上述的雪花、 天坛都具有转动对称。而一个圆球具有更高层次上的转动对 称 球对称。具有球对称性的形体，从对称中心出发， 各个方向都是一样的，即各向同性。3 .平移对称:对一个形体发生一平移后它也和原来的一摸一样，该形 体就具有平移对称性。例如，食盐晶体的分子结

13、构就具有空 间平移对称性。Xian Jaotong University除了上述的几种直观的空间对称性之外，事物对时间也 具有对称性，在微观领域还具有更为抽象的对称性。对称性的概念充斥于物理定理之中。例如，牛顿第二定 律没有因空间平移而发生变化，也没有因为时间的变迁而发 生变化。麦克斯韦电磁学理论方程更具有时间反演对称性， 即将方程中的t变换为-t时，麦斯方程的形式不会发生任何变 化。关于物理定律的对称性有一条很重要的定律，那就是： 对应于每一条对称性都有一条守恒定律。理论研究表明，在 宏观与微观领域，对应于空间反演时的镜象对称分别是动量 守恒定律和宇称守恒定律；对应于转动对称的是角动量守恒

14、定律；对应于量子力学相移对称的是电荷守恒定律；对应于 时间平移对称的是能量守恒定律。可见守恒定律具有更深刻 的根基，在牛顿定律已不适用的物理现象中，这些守恒定律 仍然成立。 大自然喜欢对称，然而，在自然界总会存在一些极不对 称和谐的事物。动物和植物的外观看起来大都具有左右对称 ，Xian Jaotong University但是，构成它们的蛋白质分子结构却极不对称。至今，也未有 发现粒子与反粒子、物质与反物质的对称。由此可见，有些守 恒定律也不是完全绝对的，1956年，杨振宁和李政道在审查微 观粒子的相互作用时，发现宇称守恒只适应于强相互作用，在 弱相互作用下的宇称并不守恒。由此，二人于1957年共同获得 了诺贝尔奖。不对称性的存在似乎表明，上帝并不愿意大自然十全十美 ，或者上帝并不认为对称就是唯一的十全十美。这就像绝大多 数人喜欢穿具有对称图样的衣服，但在大街上经常也能看到有 些人穿着图案不对称的衣服；绝大多数人留着黑头发，但也经 常看到有些人留着红头发。这就是说，上帝造就的大自然总是 保持多样性的。