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1、3.4 奇 解 一、包络络和奇解1 包络络的定义义定义义1：对于给定的一个单参数曲线族： 曲线族(3.23)的包络络是指这样的曲线 ,它本身不包含在曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.例如单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半 径等于R的一族圆. 如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:注:并不是每个曲线族都有包络.例如: 单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图从图形可见, 此曲线族没有包络.2 包络络的求法曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程注:例1 讨论讨论 的包络络.解:记记则则消去参数c, 得于是和
2、是两支c-判别别曲线线.经验证经验证 ,和是的包络络.Oxy包络例2求直线线族:的包络络.这这里是参数,是常数.例3:求曲线线族的包络络.解:记记则则消去参数c，由(2)得(3)代入(1),得化简简得于是 的两支c-判别别曲线为线为 :1、将代入(2), 得于是得到一支c-判别别曲线线2、将代入(2), 得另一支c-判别别曲线线显显然因为对为对 任意的考察解之得,对对切线线不存在;所以不是的包络络;对对在点的切线线的斜率为为对对任意的则则有因为为所以所以于是,在点的切线线的斜率为为是的包络络.考察xyO3 奇解定义2 对于一阶微分方程 F(x, y, y)=0. 如果存在一 个解, 使在它上面
3、的每一点处, 解的唯一性不成立, 则称此为方程的奇解.对对于一阶阶微分方程F(x,y,y)=0，设设 是它的通解。如果积分曲线族的包络络存在，则包络 就是方程F(x,y,y)=0的一条奇积积分曲线线，即 所对应对应 的解就是方程F(x,y,y)=0的奇解。例如: 例4: 求微分方程的奇解.解: 令求得它的通解为为:令消去参数c,得到和经检验经检验 :不是的包络络,从而不是方程的奇解(实际实际 上不是方程的解);是的包络络, 从而是方程的奇解.问题问题 :能否不通过过求方程F(x,y,y)=0的通解，而由方程F(x,y,y)=0本身求它的奇解呢?由隐隐方程的存在唯一性定理：对于如果但则则初值问题
4、值问题 :在(h为为足够够小的正数)，上存在唯一解.因此,方程F(x,y,y)=的奇解,如果存在的话话,必含在从方程组组:消去参数p而得到的曲线线中.4 奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注:例5:求微分方程的奇解.解:从消去p, 得到p-判别曲线即由于方程的通解为:三、克莱罗（Clairaut）方程1 定义3: 形如的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.为求它的解,令得经化简,得2 克莱罗(Clairaut)方程的求解这是y已解出的一阶微分方程.如果则得到于是, Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.结结果:Clairaut方程的通解是一直线族, 此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.如果令则因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络例4:求解方程解: 这是Clairaut方程, 因而它有通解:其中因为所以从中消去参数c, 得到原方程的奇解:xyO如图:故, 此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:作业业P111 1(6,8,10)
