你能证明它们吗

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1、 新课标北师大版数学九年级上册定理: 等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高线互相重合 (三线合一) 结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60（可作为为推理依据） 结论2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角 的一半.知识要点:结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等. 结论5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.等腰三角形的性质:结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰 三角形. 简称:等角对等边.(底边延长线上一点呢？ ）w一个三角形满

2、足什么条件时便可成为等边三角形？w与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.开启 智慧ACB600ACB600ACB600w你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗 ？你能证明你的结论吗？w一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形 ？命题的证明我能行1 1w定理:有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形.证明:AB=AC, B=600(已知),C=B=600.(等边对等角)A=600(三角形内角和定理)A=B（等量代换）. AC=CB（等角对等边）.AB=BC=AC（等量代换）. ABC是等边三角形(等边三角形定义).已知:如图,在ABC中 AB=AC,B=600. 求证:A

3、BC是等边三角形. ACB600几何的三种语言回顾反思1 1w定理:有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形.在ABC中, AB=AC,B=600(已知)（或者A=600). ABC是等边三角形 (有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一ACB600命题的证明我能行2 2w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:A=B (已知), BC=AC,(等角对等边).又B=C(已知), AB=AC,(等角对等边). AB=BC=AC(等量代换). ABC是等边三角形(等边三角形定义)已知:如图,在ABC中,A=B=C. 求证:ABC是等边三角形.ACB几

4、何的三种语言回顾反思2 2w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等边三角形(三个角都 相等的三角形是等边三角形).ACB有两个角等于600的三角形是等边三角形吗？这又是一个判定等边三角形的根据之一命题的猜想我能行3 3w1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能 拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？300300300300结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等 于斜边的一半.w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.w由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直 角边与斜边有怎样的大小关系？300300300命题的证明 我能行4 4w定

5、理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么 它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在ABC中,ACB=900,A=300 求证:BC= AB.300ABCD 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题延长BC至D,使CD=BC,连接AD300ABCD ACB=900, (已知),ACD=900(平角定义) 在ABC与ADC中BC=DC（作图）ACB=ACD（已证）AC=AC（公共边）ABCADC（SAS） AD=AB（全等三角形的对应边相等）ACB=900,A=300(已知),B=600(直角三角形两锐角互余).ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角

6、形 是等边三角形)BC= BD= AB(等量代换).证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD几何的三种语言回顾反思3 3w定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一 半).ABC300推论：学无止境 例题欣赏1 1解:B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一 个外角,等于和不相邻的两内角的和).CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个 锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的 一半)

7、.ACBD150150例 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.2a2a含300角的直角三角形 隋堂练习2 21.已知:如图, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD=AB/4.分析:因为A=300,所以 BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要 能使BD=BC/2即可,此时若 BCD=300就可以了.而由“双垂 直三角形”即可求得.你能规范地写出证明过程吗？ 你的证题能力有所提高吗?ACBD反过来怎么样 逆向思维 w命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? w如果是,请你证明它.

8、心动 不如行动300ABC已知:如图,在ABC中 ,ACB=900,BC=AB/2. 求证:A=300.反过来怎么样 逆向思维在ABD中,ACB=900(已知) ACBD AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等). 又BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作图), AB=BD(等量代换). AB=BD=AD(等量代换）. ABD是等边三角形(等边三角形定义). B=600(等边三角形性质). A=300(直角三角形两锐角互余).心动 不如行动300ABCD证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言回顾反思4 4这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的

9、具体度数(300)的根据之一.w定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一 条直角边等于斜边的一半,那么它所 对的锐角等于300).ABC300成功者的摇篮 试一试P151 11.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使 得A落在EF上(如图(2), 折痕交AE于点G,那么 ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA试一试P151 11.如图(1):四边形ABCD是

10、一张正方形纸片,E,F分别是 AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF 上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么ADG等于多少 度?你能证明你的结论吗?DACBEF(2)GA1答:ADG等于150. 证明： （先证四边形EADF为矩形）A1D=AD=CD(正方形各边都相等), DF=A1D/2(等量代换). DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). 又ADEF(矩形定义), A1DA=DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ADG=A1DA/2=150(翻折的性质).300DF=DC/2(中点定义),矩

11、形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF 展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A处, 求第二次折痕BG的长.ABCEDGAF36再试2 2已知：如图，在ABC中,高线BD和CE相交于H， BHC=120,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。ACDEBH13?120CH=2 CE=5 BH=6 BD=7再试3 3已知：如图，ABC是等边三角形,D.E分别是 BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQAD, 垂足是Q, (1)求BPD的度数(2)求证:BP=2PQACDBPEQ60再试4 4 等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形

12、. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300. 老师提醒: 反证法还认识你吗?小结 拓展习题1.3 独立作业1 1w1.已知:如图,ABC是等边三角 形,DEBC,分别交AB,AC于点 D,E.求证: ADE是等边三角形. 证明1: ABC等边三角形(已知), AB=C600(已知), 又 DEBC(已知), 1=B=600,2=C=600 (两直线平行, 同位角相等). A =1=2(等量代换).

13、 ADE是等边三角形 (三个角相等 的三角形是等边三角形). BECDAF12习题1.3 独立作业2 2w2.房梁的一部分如图所示,其中 BCAC,A=300,AB=7.4m,点D是AB的中 点,DEAC,垂足为E. w求:BC,DE的长. 解:BCAC,A=300,AB=7.4m(已知), BC=AB/2=7.423.7(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又 AD=AB/2=7.423.7(中点定义), DE=AD/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 答:BC=3.7m,DE=

14、1.85m. 老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间 的关系要作为常识去认可. BECDA300习题1.3 独立作业2 2w1.已知:如图,ABC是等边三角形 ,过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得到一个新的DEF,DEF是等 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. 答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角形. 证明(1):ABC是等边三角形(已知), 又EFBC,DEAC(已知), E600(三角形内角和定理). 同理,D=600,F600. BECDAF12=3600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 ).421342600,51600(两直线平行,内错角相等). 5 DE=F600(等量代换). DEF是等边三角形(三个角相等的三角形 是等边三角形). 习题1.3 独立作业2 2w1.已知:如图,ABC是等边三角形 ,过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得到一个新的DEF,DEF是等 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. 答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也都是等边三角形.请同学们来证明(2)中的结论. BECDAF42135