流体力学(流体静力学)

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1、 第二章 流体静力学1、作用在流体上的力2、流体静压强及其特性3、流体的平衡微分方程4、流体静力学基本方程5、压强的计算基准和量度单位6、液柱式测压计7、作用于壁面上流体的总压力21 作用在流体上的力表面力质量力21 作用在流体上的力作用在流体上的力，按其物理性质分，有重力、惯性力、压力 、粘滞力、表面张力等。按其作用特点又可分为表面力和质量力两 大类。一、表面力表面力是作用在被研究流体表面上，且与作用的表面面积成 正比的力。表面力的表达形式是用单位面积上的切向分力(称为切应力 或摩擦应力)和单位面积上的法向分力(称为压应力或正压强)来表 示。表面力按作用方向可分为：压力： 垂直于作用面。切力

2、： 平行于作用面。如在流体中取出一隔离体，其表面上作用有与其交界的另一部分流体或其他物体对它作用的表面力。A面上的表面力的表达形式为：为面积A上的平均压应力或平均正压强； 为面积A上的平均切应力或平均摩擦力。A点处的压强 p 和切应力，即：二、质量力质量力是作用在流体的每一质点上、且与作用的流体的质量成正比的力。如重力、惯性力等。质量力常用单位质量力来表示。若均质流体的质量为M，所受的质量力为F，则单位质量力为F/M。若F在直角坐标系x、y、z轴方向上的分量为Fx、Fy和Fz，则在x、y、z轴方向上的单位质量力分量X、Y、Z为：单位质量力具有与加速度相同的量纲LT-2。如果液体只受到重力的作用

3、，取 z 轴铅直向上，xoy平面为水平面，则单位质量力在轴上的分量为X0 Y0 Z-Mg/M-g 22 流体静压强及其特性流体静压强流体静压强的特性22 流体静压强及其特性一、流体静压强作用在受压面整个面积上的压力称为总压力或压力，作用在单位面积上的压力是压力强度，简称压强。作用在面积A上的平均静压强，可以表示为：当面积A无限缩小到一点时，则得该点的静压强 p 为：压强的国际制单位是 N/m2 (Pa) 或 kN/m2；工程制单位是kgf/cm2。通常把流体静压强叫做流体静压力。因流体几乎不能承受拉力，故 p 指向受压面。二、流体静压强的特性1、流体静压强的方向与作用面相垂直且指向该作用面，即

4、沿着作用面的内法线方向。证明要点：证明要点：因静止流体不能承受剪力，即0，故 p 垂直受压面；即在静止流体中通过一点取11和22两个面，则作用在11面上的静压强 p1与作用在22面上的静压强 p2 的大小相等。即2、在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。p23dzp1dsdxdzdszxy证明：从静止状态的流体中引入直角坐标系中二维流体微元来说明。设 y 方向宽度为1。ds 即表示任意方向微元表面。分析 z 方向的力平衡表面力：p1dscos=p1dx和p2dx两个力二维流体微元的体积： 质量力：根据平衡条件 F0，有当dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点时，上式左端第

5、三项的质量力与前两项的表面力相比为高阶无穷小，可忽略不计，因而可得： p1 p2 同理可得： p1 p3这里的p1就是任意方向微元平面上的应力pn，它和该点坐标平面方向的应力px，pz相等。三维流体的结论是相同的(P21)：。不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器壁 根据流体静压强的第二个特性，当需要测量流体中某一点的静压强时，可以不必选择方向，只要在该点确定的位置上进行测量即可。结论：流体中各不同点处的静压强是不相同的，与该点所处的位置有关，所以某点的静压强可以表示成位置的函数。即23 流体的平衡微分方程平衡微分方程式(P24)等压面(P26)23 流体的平衡微分方程 一、平衡

6、微分方程式在静止流体中，取一以任意点O为中心的微小平行六面体。1、表面力作用在六面体上的表面力只有周围流体对 它的压力。中心 O的压力为，垂直于 x 轴 的左右两个平面中心 M 和 N 上的的静压强，按泰勒级数展开，泰勒公式：按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成其中 为压力在x方向的变化率。由于微元体的面积取得足够小，可以认为平面中点的静压强即为该面的平均静压强，于是作用在六面体左右两端面上的表面力为因此沿 x 轴方向的质量力据平衡条件，x 轴方向各作用力之和应等于零，Fx0，即2、质量力设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为X、Y、Z，流体的密度为，则六面体的质量为：以

7、除上式各项，并化简得：同理 （1）上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出的，故又称欧拉平衡方程式。它表示流体在质量力和表面力作用下的平衡条件。 因为 ，所以(2)式右边为压力p的全微分：将欧拉平衡方程式中各式分别乘以dx、dy、dz并相加，得代入（2）式得：如果流体是不可压缩的，即常数。因（4）式左边是压力的全微分dp，那么，右边也可看作是某个函数U（x，y，z）的全微分。即（5）式与（4）式对比可得（4）（5）显然，函数U（x、y、z）在x、y、z轴方向的偏导数正好等于该坐标轴方向的单位质量力。U是一个决定流体质量力的函数。称函数U（x，y，x）为力函数或势函数。满

8、足这样势函数的力就称为有势的力。如重力。结论：不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能平衡。二、等压面在静止和平衡流体中，由压强相等的点组合成的面称为等压面。静止流体或相对静止流体的自由表面就是等压面。 由于 ，只有 ，则得 。由此可见，等压面确实就是等势面。等压面三个重要性质1、等压面是等势面在等压面上，p=常数，则dp=0。由式（5）得显然，在等压面上各点的压强相等，即：p=常数或dp=0。根据式（4）可以得到等压面方程式为2、质量力与等压面相互垂直设想流体质点在等压面上移动一微小距离即质量力沿等压面所作的功为零。而质量力和位移都不为零， 所以，质量力必垂直于等压面。再 与 两矢量互相垂直

9、的充要 条件是因此，根据质量力的方向可以确定等压面的形状。则单位质量力所作的功为单位质量力3、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为等压面。简单证明：如果在分界面上任取两点A和B，这两点的静压差为dp，势差为dU。因为它们属于两种液体，若其中一种液体的密度为1，另一种液体的密度为2，则可分别写为dp 1dUdp 2dU因为12 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程式才能成立。所以其分界面必为等压面或等势面。24 流体静力学基本方程重力作用下压力分布相对平衡液体的压力分布24 流体静力学基本方程一、重力作用下压强分布如图所示为一开口容器，其中盛有密度为的静止的均匀液体 ，液体

10、所受的质量力只有重力，又常数，重度g也为常数。单位质量力在各坐标轴上的分量为X0 Y0 Zg代入（7）式得 代入上式得 则 积分得 （7） c积分常数，在 zH 处，pp0则故 式中p 液体内某点的压强，Pap0液面气体压强，Pa液体的重度，N/m3h 某点液面下的深度，m上式就是在重力作用下，静止液体内部压强分布规律的数学表达式，也称流体静力学基本方程。取一微小面积A，在A 的圆柱体的重量ghA 作用在面积A 上，按照压力的定义，gh就是单位面积上所受的力。从式 可以得出结论：(1)在重力作用下的液体内部压强随深度h按直线关系变化。(2)在重力作用下的液体中深度相同的各点静压强亦相同。(3)

11、重力作用下的液体中任何一点的压强p由两部分组成。一是作用在自由表面上的压强p0，二是流体自身重量引起的压强gh上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止液体中不 论哪一点的( )总是同一个常数。在应用中，z位置水头；压强水头或测压管高度；测压管水头。(4)将式 改写为或 （9） 图表示一封闭容器，其中盛有重度为的液体，自由液面上的压力为p0。二、相对平衡液体的压力分布1、容器作等速直线运动如图所示，若一盛有流体的容器以速度 u 作等速直线运动时，流体质点之间也不存在着相对运动。 流体内任一点的压力可用静力学基本方程式求得。 2、容器作等加速直线运动(P27)将坐标系统 x 轴和 y 轴放在容

12、器中的液体自由表面上。坐标原点放在液体自由表面中心，x 轴的方向与运动方向一致，z 轴向上。如图所示。 等压面的方程式静力学平衡微分方程式为(a)式中 X a (b)由于惯性力在 y 轴方向的分量均等于零，所以应取Y 0 (c)Z 的大小应等于重力加速度g，方向与 z 轴相反，即Z g (d)将式(b)(c)(d)代入(a)得积分即得等压面方程式显然， 这是一个倾斜的平面族方程。不同的积分常数对应不同的平面。在自由表面上，x0，z0，则c0，自由面方程式为夹角即压力分布规律由式 积分得在自由表面处，x0，z0，pp0 得 cp0 故若 则 上式与重力作用下的流体压力分布是相同的。25 压强的计

13、算和量度单位压强的两种计算基准压强的量度单位25 压强的计算基准和量度单位一、压强的两种计算基准1、绝对压强以毫无一点气体存在的绝对真空（零压力）为零点起算的压 强，称为绝对压强。以pabs表示。当液面上作用的是大气压力pa时 p0 pa 由静力学基本方程式（8）得液体内任意一点的压力为2、相对压力以当地同高程的大气压强pa为零点起算的压强。则称为相对压 强，以pr表示。相对压强、绝对压强和大气压强的相互关系是pr pabs pa绝对压强可能大于大气压力，也可能小于大气压力，因此，相对压强可正可负。当相对压强为正值时，称该压强为正压，为负值时，称为负压。负压的绝对值又称为真空度，以pv表示。即

14、当 pr0 时，为了建立绝对压强和相对压强的概念，现以 A 点（pabsApa）和 B 点（pabsB pa）为例，将它们之间的关系用图来表示。(P30) 为了理解相对压强的实际意义，现以图中气体容器的几种情况来说明：(1)假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，p0pa，相对压强为零。容器内、外壁所承受的压强均为大气压强，力学效应相互抵消，等于没有受力。(2)假定容器的压强p00，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。(3)假定容器压强p00。同样的，也正是这个低于大气压强的部分，才对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。上例说明，引起固体和流体力学效应的只是相对压强的数值，而不是绝对压强的数值。二、压强pressure的量度单位工程上常用的压强量度单位的三种。1、用应力(stress)单位表示即以单位面积上所受力的大小来表示压强。在国际单位制中压强单位为N/m2，1N/m21Pa。压强较大时，可用kPa或MPa表示，1MPa106Pa。在工程单位单位单位制中用kgf/m2或kgf/cm2。1kg/cm298kPa.。2、用工程大气压表示(Atmospheric pressure大气压力)压强的大小也常用大气压的倍数表示。国际上规定，一个标准大气压为1atm 101.325kPa 1.033kgf/cm2工程上为了计算方便，一般不用标准