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1、第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,则复合函数在点 t 可导,且有链式法则证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量有增量u ,v ,( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号 )例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立. 说明:若定理中推广:设下面所涉及的函数都可微 .1) 中间变量多于两个的情形. 例如 ,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 又如, 当它们都具有可微条件时, 有注意: 这里
2、 与 不同,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导例1 设解例2解设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 例3 设 求全导数解注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 例4 设 f 具有二阶连续偏导数,求解 令则例5 设二阶偏导数连续,求下列表达式在解 已知极坐标系下的形式(1), 则已知注意利用 已有公式同理可得二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,其全微分表达 都可微,则复合函数形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.例 6 利用全微分形式不变性再解例1. 解所以内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,
