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1、不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有第二章 不定方程一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。 是数论中最古老的分支之一。 古希腊的丢番图早在公元3世纪就 开始研究不定方程， 因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家， 公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元5世纪的 张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究 。 秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。 百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？” 。 这是一个三元不定方程组问题。 1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2、 近年来，这个领域更有重要进展。 但从整体上来说， 对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。 另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、 代数几何、组合数学等有着紧密的联系， 在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题， 这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。第一节 二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：有解时决定解的个数。判断何时有解。求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程二元一次不定方程。注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：注：利用
3、辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，且a大于b，因此求解此方程时可以考虑用变量替换。3、下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法整数分离法或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程用辗转相除法，依次化为等价的不定方程， 直至得到一个变量的系数为正负1的方程为止。这样的不定方程可以直接解出。 再依次反推上去，就得到原方程的通解。为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小余数。下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，它的非负解和正解问题。由通解公式知这可归结为去确定参数t的值， 使x,y均为非负或正。显
4、见，当a,b异号时，不定方程（1）可解时总有无穷多组非负解或正解，理由是：所以下面只讨论a,b均为正整数的情形，先来讨论非负解：下面讨论正整数解：例7、求方程5x+3y=52的全部正整数解解：x=8,y=4是一组特解，方程的全部解为：x=8+3t,y=4-5t正整数解满足8+3t0,4-5t0注：若只求方程正整数解的个数，可考虑以下不等式的整数解个数：第二节 多元一次不定方程注：定理1的证明给出了n元一次不定方程的解法过程：即求解方程组（由n-1个方程组成）解：原方程化为：进一步可求非负整数解：由通解公式给出非负整数解中m,k应满足第三节 勾股数再证满足条件（2）的解都可以表成（3）的形式。例
5、1、求一个边长为整数的直角三角形，它的面积在数值上等于它的周长。例2、求不定方程（*）的满足条件0z26的全部互素的解。baxyz 12345 2351213 1415817 3472425例3、求z=65的满足方程（*）的全部正整数解。例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那么在x,y中有一个是3的倍数，有一个是4的倍数，在x,y,z中有一个是5的倍数。注意：定理中所说的在x,y中有一个是3的倍数，有一个是4的倍数，并不是说在x,y中一个是3的倍数，另一个是4的倍数，很可能3的倍数与4的倍数是同一个数。如（5,12,13），又如（11,60,61）3、无穷递降法1659年
6、，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维， 称自己创造了一种新的数学方法. 由于费马的信并没有发表， 人们一直无从了解他的这一方法. 直到 1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法.无穷递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其证明模式大致是:先假设方程存在一个最小正整数解， 然后在这个最小正整数解的基础上找到一个更小的构造某种无穷递降的过程， 再结合最小数原理得到矛盾，从而证明命题. 无穷递降法在解决问题过程中主要有两种表现形式:其一，由一组解出发通过构造得到另一组解，并且将这一过程递降下去，从而得出矛盾;其二，假定方程有正整数解，且存在最小的正 整数解，设法构造出方程的另一组解(比最小正整数解还要小)，从而得到矛盾.无穷递降法的理论依据是最小数原理.
