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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一）第十九讲第十九讲 微分中值定理微分中值定理脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较
2、好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极限值.在点 x 处的差商导数与差商我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建
3、要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.首先, 从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.导数与差商相等！将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.极值的定义一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.定理定理费马定理的几何解释如何证明？则有于是（极小值类似可证）证如何保证函如何保证函 数在区间内数在区间内 部取极值？部取极值？但是不保证在内部！水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设则
4、至少存在一点定理定理实际上, 切线与弦线 AB 平行.最小值至少各一次.证最小值至少各一次.由费马定理可知：例1证其中,综上所述,连续可微端点函数值相等例2分析例2证由罗尔定理, 至少存在一点分析问题的条件, 作出 辅助函数是证明的关键 .且满足罗尔定理其它条件,例3证想想, 看 能不能找 到证明的 方法.例4分析例4证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使用罗尔定理?如果需要如果需要, , 当然可以使用当然可以使用. .例5证例6证引理 1达布中值定理达布中值定理达布中值定理费马定理的一种推广费马定理的一种推广证明引理证明引理1 1证明达布中值定理证明
5、达布中值定理请自己完成!如何描述这一现象三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理定理切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理 来证明？则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量公式某一时刻达到它的平均速度某一时刻达到它的平均速度. .拉格朗日中值定理告诉我们拉格朗日中值定理告诉我们, , 在在 t=a t=a 到到t=b t=b 的时间段内的时间段内, , 连续运动的物体至少会在连续运动的物体至少会在还有什么？推论 1推论 2( C 为常数 )推论 3 用来证明一些重要的不等式推论 4 用来判断函数的单调性在推论 4 中, 推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 .该推论可以用来证明不等式.证解例7故从而例8证例9证例10证延拓!例11证从而例12解例13解又故从而即例14证则又且故即例15证在拉格朗日 中值定理中, 将 曲线用参数方程 表示 , 会出现什 么结论？使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.四. 柯西中值定理设则至少存在一点有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证分析例16例16证三个中值定理的关系三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形旋转参数方程
