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1、第5章 回溯法1 1学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略。掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯最优子结构性质（2）迭代回溯贪心选择性质（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架2通过应用范例学习回溯法的设计策略。（1）装载问题；（2）批处理作业调度；（3）符号三角形问题（4）n后问题；（5）0-1背包问题； （6）最大团问题；（7）图的m着色问题（8）旅行售货员问题（9）圆排列问题（10）电路板排列问题（11）连续邮资问题3有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么 解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯 法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条 的，能避免不必要搜索的
2、穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。回溯法4问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n 元式(x1,x2,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同
3、一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间5生成问题状态的基本方法扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前，它一直是扩展结点
4、回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态 ，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实 际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。 具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法6回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的 解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的 路径。如果解
5、空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为 h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n)。而显式地存储 整个解空间则需要O(2h(n)或O(h(n)!)内存空间。7递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递 归方法实现回溯法。void backtrack (int t) if (tn) output(x);elsefor (int i=f(n,t);i0) if (f(n,t)n) output(x);elsefor (int i=0;in) output(x);elsefor (int i=t;i n) / 到达叶结点更新最优解bestx,bestw;return;r
6、 -= wi;if (cw + wi bestw) xi = 0; / 搜索右子树backtrack(i + 1); r += wi;12批处理作业调度给定n个作业的集合J1,J2,Jn。每个作业必须先由机器1处理， 然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确 定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作 业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。 批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调 度方案，使其完成时间和达到最小。tji机器1机器2作业121 作业231 作业323这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3
7、,2；2,1,3；2,3,1 ；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20 ，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为 18。13批处理作业调度 解空间：排列树void Flowshop:Backtrack(int i) if (i n) for (int j = 1; j f1)?f2i-1:f1)+Mxj2;f+=f2i;if (f half)|(t*(t-1)/2-counthalf) return;if (tn) sum+;elsefor (int i=0;in) sum+;elsefor (int i=1;iTypep Knap:Bo
8、und(int i)/ 计算上界Typew cleft = c - cw; / 剩余容量Typep b = cp;/ 以物品单位重量价值递减序装入物品while (i n) / 到达叶结点for (int j = 1; j bestn) / 进入右子树xi = 0;Backtrack(i+1); 复杂度分析 最大团问题的回溯算法backtrack所需的计算时间 显然为O(n2n)。1245321进一步改进选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的 发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到 大排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启 发性。 定义Si=vi,vi+1,.,vn，依次求出S
9、n,Sn-1,.,S1的解。 从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Sin) sum+;for (int i=1; i void Traveling:Backtrack(int i) if (i = n) if (axn-1xn != NoEdge return temp; void Circle:Compute(void) / 计算当前圆排列的长度float low=0,high=0;for (int i=1;ihigh) high=xi+ri;if (high-lown) Compute();elsefor (int j = t; j = n; j+) Swap(rt, rj);float
10、 centerx=Center(t);if (centerx+rt+r1min) /下界约束xt=centerx;Backtrack(t+1);Swap(rt, rj); 复杂度分析 由于算法backtrack在最坏情况下可能需要计算 O(n!)次当前圆排列长度，每次计算需O(n)计算时 间，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n+1)!) 上述算法尚有许多改进的余地。例如，象1,2,n-1,n和n,n- 1, ,2,1这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计 算一个就够了，可减少约一半的计算量。另一方面，如果所 给的n个圆中有k个圆有相同的半径，则这k个圆产生的k!个完 全相同的圆排列，只
11、计算一个就够了。 27连续邮资问题假设国家发行了n种不同面值的邮票，并且规定每张信 封上最多只允许贴m张邮票。连续邮资问题要求对于给 定的n和m的值，给出邮票面值的最佳设计，在1张信封 上可贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间 。例如，当n=5和m=4时，面值为(1,3,11,15,32)的5种 邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是1到70。28连续邮资问题 解向量：用n元组x1:n表示n种不同的邮票面值，并约定它 们从小到大排列。x1=1是唯一的选择。 可行性约束函数：已选定x1:i-1，最大连续邮资区间是1:r ，接下来xi的可取值范围是xi-1+1:r+1。如何确定r的值？ 计算
12、X1:i的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，因此 势必要找到一个高效的方法。考虑到直接递归的求解复杂度太 高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x1:i的邮票贴出邮 资k所需的最少邮票数yk。通过yk可以很快推出r的值。事实 上，yk可以通过递推在O(n)时间内解决： for (int j=0; j= xi-2*(m-1);j+)if (yjm)for (int k=1;k=m-yj;k+)if (yj+kyj+xi-1*k) yj+xi-1*k=yj+k;while (yrmaxint) r+;29回溯法效率分析通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率 在很大程度上依赖于以下因素
13、： (1)产生xk的时间； (2)满足显约束的xk值的个数； (3)计算约束函数constraint的时间； (4)计算上界函数bound的时间； (5)满足约束函数和上界函数约束的所有xk的个数。 好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样 的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数 时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷 。30重排原理对于许多问题而言，在搜索试探时选取xi的值顺序是任意的。 在其它条件相当的前提下，让可取值最少的xi优先。从图中关 于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力 。图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中 一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子 树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明 显比后者好。(a)(b)31课后作业习题 5-14，5-16，5-18，5-27，5-293233
