逻辑代数基础

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1、第二章 逻辑代数基础本章要点2.1 概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简作业Date1本章要点基本概念基本定理和法则逻辑函数的表示形式逻辑函数的化简返回Date22.1 概述l逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。 l1849年，英国数学家乔治布尔(G.Boole) “布尔代数”。 l1938年，克劳德向农(C.E.Shannon) “开关代数”。l二值逻辑 0和1l逻辑运算： 两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算

2、。返回Date32.2 逻辑代数中的三种基本运算1、“与”运算（AND）ABYA BY 000 010 100 111真值表设：开关打开-“0”闭合-“1”灯灭-“0”亮-“1”表达式：表达式：Y=AY=A B BA BYABY分配律=A +A(B+C)+BC ; 分配律,重叠律=A(1+B+C)+BC ; 分配律=A 1+BC ; 0-1律=A+BC ; 0-1律 =左边Date17=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC+(A+A)BC证明:左边= AB+AC+BC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)例：证明冗余律成立；分配律；分配律；0-1律= 右边Date18练习：证明成立。证

3、明:返回Date192.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。(A+B)= ABB+C替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律Date202.4.2 反演定理对于任意一个逻辑函数式 Y，做如下处理：运算符“”与“+”互换；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量。那么得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式Y。注意：注意： 遵守遵守“ “括号、乘、加括号、乘、加” ”（即（即括号与或括号与或）的运算优先）的运算优先 次序。次序。必要时适当地加入括号。

4、非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 不属于单个变量上的非号处理不属于单个变量上的非号处理办法办法：Date21法法1 1：利用反演规则直接得到：利用反演规则直接得到，求，求Y Y 。例：例：法法2 2：利用反演律：利用反演律Date222.4.3. 对偶定理对于任意一个逻辑函数式 Y，做如下处理：运算符“”与“+”互换；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式 YD。注意：注意： 运算顺序不变；只变换运算符和常量，其变量是不变的。对偶定理: 若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 Y1 = Y2 , 则 Y1D= Y2D。Date23如

5、：返回Date242.5 逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示 某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以 用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高 、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函 数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻 辑变量A、 B、 C、 的取值确定后，其输出逻辑变量F的 值也被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 的逻辑 函数， 并记为 Y=F(A,

6、B,C)Date252.5.2 逻辑函数的表示方法C YBA举重裁判表决电路例：A、B、C - 输入变量Y - 输出变量1 表示开关闭合，灯亮0 表示开关断开，灯不亮一、真值表：A B CY0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1Date26C YBA举重裁判表决电路例：A、B、C - 输入变量Y - 输出变量1 表示开关闭合，灯亮0 表示开关断开，灯不亮二、逻辑函数式：分析得： 2.5.2 逻辑函数的表示方法Date27三、逻辑图：将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻

7、辑关系用图形符号表示出来，就可画出表示函数辑关系用图形符号表示出来，就可画出表示函数 关系的逻辑图。关系的逻辑图。&A B1 Y&A C例：用逻辑图描述函数Date28A B CY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1四、波形图：将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的 输出值按时间顺序依次排列起来，就得到表示该逻辑 函数的波形图。AO BOCO YOtttt00001111001100110101010100000111Date29五、各种表示方法间的相互转换：1. 真值表与逻辑函数式的相互转换【例

8、】根据举重裁判表决电路的真值表写出它的逻辑函数式。A B CY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1 1解：由真值表可以看出输入变量为以下三种取值的时候，Y 等于1：A = 1、B = 0、C = 1A = 1、B = 1、C = 0A = 1、B = 1、C = 1因此，Y的逻辑函数式为：Y = ABC+ABC+ABCDate30由上例可以总结出由真值表写出逻辑函数式的方法：（1）首先从真值表中找出所有使函数值等于1的那些输入变量的取值组合；（2）每一组使输出为1的变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的

9、写入原变量，取值为0的写入反变量；（3）将这些乘积项相加，即得输出变量Y的逻辑函数式。Date31【例2.5.1】已知一个奇偶判别函数的真值表如下表所示，试写 出它的逻辑函数式。A B CY0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 1 1 0解：由真值表可以看出Y等于1时输入变量的取值 组合为：因此，Y的逻辑函数式等于 这四个乘积项之和：Date32【例2.5.2】已知逻辑函数式Y=A+BC+ABC，求其真值值表。A B CBCABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

10、 1 10 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 00 1 1 0 1 1 1 1解：将A、B、C的各种取值逐一代入Y式中计算，将计算结果列表，即得下表所示的真值表。Date332. 逻辑函数式与逻辑图的相互转换（1）逻辑图形符号逻辑运算符号（2）运算优先顺序注意：【例2.5.3】已知逻辑函数式Y=(A+BC) +ABC+C，画出其对 应的逻辑图。CA BYDate34【例2.5.4】已知函数的逻辑图如下图所示，试求出它的逻辑函 数式。从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。可得到对应的逻辑式。

11、Date35&CB1A1 Y11&1 例：Date36t1t2t3t4t5t6t7t83. 波形图与真值表的相互转换AO BOCO YOtttt【例2.5.5】已知逻辑函数Y的波形图如下图所示，试求该逻辑 函数的真值表。A B CY0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 0 1Date372.5.3 逻辑函数的两种标准形式一、最小项和最大项1. 最小项特征： （1）乘积项； （2）包含全部变量； （3）以原变量或反变量的形式只出现一次。在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的

12、形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。Date38【例】 n=3，对A、B、C，有8个最小项最小项项使最小项为项为 1的变变量取 值值对应对应 的十进进制数编编号ABCABC0000m0ABC0011m1ABC0102m2ABC 0113m3ABC1004m4ABC 1015m5ABC1106m6ABC1117m7Date39最小项的性质:1)最小项为“1”的取值唯一。如：最小项ABC，只有ABC取值101时，才为“1”，其它取值时全为“0”。2)任意两个最小项之积为“0”。4)全部最小项之和为“1”。5)某一个最小项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。3)相邻两个最小项可合并。D

13、ate40最小项表达式【例1】三人表决电路F=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=m (3，5，6，7)全部由最小项构成的“与或”表达式为最小项 表达式(标准“与或”表达式)。ABCF 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1111Date41例：写出 的最小项之和式。最小项之和式为：解：Date42【例2.5.6】将逻辑函数Y=ABCD+ACD+AC展开为为 最小项项之和的形式。解：或写作：Date432. 最大项特征： （1）或项； （2）包含全部变量； （3）以原变量或反变量的形式只出现一次。在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且

14、这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现 一次，则称M为该组变量的最大项。Date44【例】 n=3，对A、B、C，有8个最大项最大项项使最大项为项为 0的变变量取 值值对应对应 的十进进制数编编号ABCA+B+C0000M0A+B+C0011M1A+B+C0102M2A+B+C0113M3A+B+C1004M4A+B+C1015M5A+B+C1106M6A+B+C1117M7Date45最大项的性质:1)最大项为“0”的取值唯一。如：最小项A+B+C，只有ABC取值001时，才为“0”，其它取值时全为“1”。2)任意两个最大项之和为“1”。3)全部最大项之积为“0”。4)某一个最大项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。Date46最大项表达式全部由最大项构成的“或与”表达式为最大项 表达式(标准“或与”表达式)。【例2.5.7】将逻辑函数Y=AB+AC展开为为最大项项之 积积的形式。解：或写作：Date473. 最小项和最大项的关系1）相同i的最小项和最大项互补。2）例：互为对偶式。 F=