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1、 第 第4 4章 逻辑函数及其化简章 逻辑函数及其化简本章主要介绍：本章主要介绍：1.逻辑函数的建立及其表示方法2.逻辑函数化简含义3.逻辑函数的代数化简法4.逻辑函数的卡诺图化简法本章重点：逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。第一节 逻辑函数式的最简形式一、逻辑函数的最简形式一、逻辑函数的最简形式同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑表达式。 在逻辑电路设计中，逻辑函数最终要用逻辑电路来 实现。因此，化简和变换逻辑函数可以简化电路、 节省器材、降低成本、提高系统的可靠性。逻辑函 数有五种基本表达式：与或式、或与式、与非与 非式、与或非式。例如与或式和或与式是最常用的逻辑表达式。最简与或式的标准
2、是：含的与项最少；各与项中含的变量数最少。最简或与项的标准是：含的或项最少；各或项中含的变量数最少。与或式可变换成与非与非式或与式变换成或非或非式二、二、最小项最小项逻辑函数的最小项是构成逻辑函数的最小因子 。在n变量逻辑函数中，每一变量都作为一个因子相乘而得到的n因子乘积项称为该函数的最小项。在一个最小项中，每个变量不是以原变量就是以反变量形式出现并仅出现一次。 在n变量逻辑函数中，n个变量可以构成2n个最小项。如3变量A、B、C构成的任何逻辑函数，都有238个最小项；同理4变量的逻辑函数有2416个最小项。三变量最小项、编号及符号三变量最小项、编号及符号第二节 逻辑函数的化简第二节 逻辑函
3、数的化简一、代数法化简代数法化简是利用逻辑代数的公式、和有关 定理、规则，对逻辑表达式进行化简。1.并项法 利用并项公式 并两项为一项，并消去一个互补因子。【例题1】【例题2】【例题3】2.吸收法利用公式 AABA，吸收多余与项。【例题4 】【例题5 】3.消去法利用吸收律 :【例题6】4.配项法 函数式增加适当的项，进而可消去原来函数中的某 些项。【例题7】化简函数解：归纳简化任意逻辑函数的方法：第三节 逻辑函数的卡诺图化简法 用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧， 有些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍 的卡诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则 可循的逻辑函数化简法。（一）卡诺图
4、的构成（一）卡诺图的构成1.基本原理对应于一组N个逻辑变量，则函数共有2N个最 小项。如果把每个最小项用一个小方格表示，再 将这些小方格以格雷码顺序排列，就可以构成N个 变量的卡诺图。卡诺图的特点是：在几何位置上相邻的最小项小 方格在逻辑上也必定是相邻，即相邻两项中有一个 变量是互补的。2.构图（1）二变量卡诺图二二变量有变量有2 22 24 4个最个最 小项小项（2）三变量卡诺图（3）四变量卡诺图（二）逻辑函数在卡诺图上的表示1.将逻辑函数变换成标准“与或”式（最小项表达式 ）2.在表达式中含有最小项所对应的小方格填入“1”，其余位置则填入“0”，便得该函数的卡诺图。 【例题1】则在四变量卡
5、诺图中对应m1、m7、m12的小方格中 填入“1”，其余位置填入“0”。如图所示的卡诺图。【例题2】函数解：卡诺图卡诺图（二）卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的基本原理，是依据关系式即两个“与”项中，如果只有一个变 量互反，其余变量均相同，则这两个“与”项可以合并成一项，消去其中互反的变量。相邻最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。在合 并项（卡诺圈）所处位置上，若某变量的代码有若某变量的代码有0 0 也有也有1 1，则该变量被消去，否则该变量被保留，并，则该变量被消去，否则该变量被保留，并 按按0 0为反变量，为反变量，1 1为原变量的原则写成乘积项形式的为原变量的原则写成乘积项形式的
6、合并项中。合并项中。C+BA12123画卡诺圈所遵循的规则：（1）必须包含所有的最小项；（2）按照“从小到大”顺序，先圈孤立的“1”，再圈只能两个组合的，再圈只能四个组合的；（3）圈的圈数要尽可能少（乘积项总数要少） ；（4）圈要尽可能大（乘积项中含的因子最少）不论是否与其它圈相重，也要尽可能地画大，相重是指同一块区域可以重复圈多次，但每个圈至少要包含一个尚未被圈过的“1”。【例题1】用卡诺图化简函数F（A,B,C,D）m（0,3,4,6,7,9,12,14,15）11111111100 01 11 1000011110ABCD【例题2】用卡诺图化简函数F（A,B,C,D）m（1,5,6,7,
7、11,12,13,15）1111111100 01 11 1000011110ABCD【例题3】用卡诺图化简逻辑函数 三、包含无关项（don，t care）的逻辑函数的化简（1 1）无关项的含意）无关项的含意无关项是约束项和任意项的统称。无关项是约束项和任意项的统称。约束项：在分析某些具体的逻辑函数时，会遇到 这样一种情况，即输入的变量取值不是任意的。对 输入变量取值所加的限制称为约束。同时把这一组 变量称为具有约束的一组变量。例如，有三个逻辑变量A、B、C，分别表示一 台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正 转，B=1表示反转，C=1表示停止。因为电动机一个n变量的逻辑函数并不一定与
8、2n个最小项都有 关，有时，它仅与其中一部分有关，而与另一部分 无关。也就是说这另一部分最小项为“1”或为“0”均 与逻辑函数的逻辑值无关，我们称这些最小项为无 关最小项，用“d”来表示。具有无关最小项的逻辑 函数常常称为具有约束条件的逻辑函数。任何时候只能执行其中一种命令，所以不允许两个 以上的变量同时为1。ABC的取值只可能是：001、010、100，当中的 一种，而不能是000、011、101、110、111中的任 何一种。例如用8421BCD码表示十进制数，则四位BCD码输入B3B2B1B0只有0000,00011000,1001十种输入组合，其余1010,1011,1100,1110
9、，1111六种组合不可能出现，它们是8421BCD码的无关组合，与这些组合相对应的最小项：与逻辑函数输出数值无关，因此它们是无关最小项 。（2）包含无关最小项的逻辑函数化简由于无关最小项为“1”为“0”对实际输出无影响 ，因此在化简逻辑函数时，可以根据化得最简函数式的需要来处理无关最小项。【例题12】化简逻辑函数F（A、B、C、D）m（1,3,5,7,9）d（10,11,12,13,14,15）【解】作四变量卡诺图 ：【例题】P934.7（3）用卡诺图化简下列函数为最简 与或表达式。解画四变量卡诺图【例题】P934.9（3）用卡诺图法化简下列具有无关 项的逻辑函数。111111ABCD00 0
10、1 11 1000011110【例题1】试用卡诺图法化简下列函数为最简与 或表达式。F（A、B、C、D、E）（4，5，6，7，13 ，15，20，21，22，23，25，27，29，31）解这是一个五变量逻辑函数，所对就的卡诺 图属多变量的卡诺图。由于5个变量具有2532个 最小项，对应的卡诺图有32个小方格，其结构较为 复杂，使得最小项之间的相邻关系，不是能直观看 出。下面我们先对五变量卡诺图的结构作介绍：013267548911101415131224252726303129281617191822232120ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101
11、 100五变量卡诺图四逻辑变量卡诺图以红线为轴向右翻转而成。其相邻最小项，除了“左邻右舍，同根同祖”外，红线两边对应项也是相邻项。相当于以红线对折。00001111000001100110011000001111ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100【例题2】用卡诺图化简下列5变量逻辑函数为最简 与或式。Y（A、B、C、D、E）A BDE A B D BE AB C D AC D Em（2、6、8、9、11、12、13、15、16、17 、25、27、29、31）11111111111111ABCDE00011110000 001 011 01
12、0 110 111 101 100本章小结本章小结逻辑函数的建立和表示、逻辑函数的化简是逻辑 函数分析和设计的基础，它的数学工具就是第2章 所介绍的逻辑代数的内容。通过本章的学习，要求做到：通过本章的学习，要求做到：1.理解逻辑函数的建立过程，理解同一个逻辑 函数可由真值表、逻辑函数表达式、卡诺图、逻辑 电路图四种不同形式来表示。2.了解逻辑函数化简的含意，也就是说了解将 逻辑函数化简是化成最简的与或表达式。3.熟练掌握逻辑函数的代数化简法，即熟练应用 逻辑代数8条定律及由四个常用公式得到的并项法、吸收法、消去法和取消法，将逻辑函数化成最简与 或表达式。4.熟练掌握逻辑函数的卡诺图化简法。卡诺图化简法是一种几何方法，它的依据是构图的相邻性及 逻辑代数的互补律，只要按照卡诺图化简法步骤及 画包围圈的四个规则进行，就一定能方便地得到输 入、输出变量之间的最简与或表达式。
