工程力学第4章

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1、第4章 摩 擦 第4章 摩 擦 4.1 滑动摩擦 4.2 考虑摩擦时物体的平衡 思考题 习题 第4章 摩 擦 4.1 滑动摩擦 4.1.1 滑动摩擦当两物体接触面之间有相对滑动的趋势时，物体接触面产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，通常用Ff表示； 当两物体之间产生相对滑动时，物体接触表面之间产生的摩擦力，称为滑动摩擦力，简称动摩擦力,通常用Ff表示。由于摩擦对物体的运动起阻碍作用，因此摩擦力总是作用在接触面（点），沿接触处的公切线，与物体相对滑动或滑动趋势方向相反。 第4章 摩 擦 从限制物体运动的作用而言，摩擦力是一种被动的、未知的约束力。它的计算方法一般根据物体的运动情况而定，库

2、仑 实验得出如下结论： （1）静摩擦定律（库伦定律）：设重为G的物块受一水平力FT的作用，如图4-1(a)所示，当力FT较小时，物块A处于静止，其受力图如图4-1(b)所示，由平衡条件可知，此时静摩擦力Ff =FT；当力FT逐渐增大到某一值时，物块处于静止和滑动的临界平衡状态，此时静摩擦力Ff达到其最大值Ffmax，称为最大静摩擦力。根据库仑的实验，最大静摩擦力Ffmax与接触面间的法向反力FN成正比，即： Ffmax= fsFN （4-1） 第4章 摩 擦 (2) 一般静止状态下的静摩擦力Ff随主动力的变化而变化， 其大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即 0 Ff Ffmax（4

3、-2） (3) 当物体处于滑动状态时，在接触面上产生的滑动摩擦 力Ff的大小与接触面的法向反力FN成正比，即 （4-3） 式中，比例系数f称为动滑动摩擦系数，其大小与接触物体的材料及表面状况（粗糙度、湿度、温度等）有关，而与接触面 积无关。 式（4-3）称为动摩擦定律。 第4章 摩 擦 实验证明，一般情况下静滑动摩擦系数大于动滑动摩擦 系数，即fsf。这说明推动物体从静止开始滑动比较费力， 而一旦滑动起来，维持滑动就省力些。各种材料在不同情况下的静摩擦系数，通常由实验测定。常见材料的滑动摩擦系数 如表4-1所示。 第4章 摩 擦 表4-1 常见材料的滑动摩擦系数 第4章 摩 擦 4.1.2 摩

4、擦角与自锁现象1. 摩擦角 在图4-1中，将支承面对物块的法向反力FN和切向反力Ff合成，得到一个合力FR，称为全反力；将主动力G和FT合成一个力 FQ， 即 FRFN+FfFQ=G+FT 第4章 摩 擦 图4-1第4章 摩 擦 设FQ与接触面法线的夹角为，全反力FR与接触面法线的夹角为，于是物块在全部主动力的合力FQ和全反力FR的作用下平 衡，此时， ，如图4-2（a）所示。根据（4-2）式可知，静摩擦力Ff是个有界值，所以也是有界值，即0m。 m ，m为物块处于临界平衡状态时，全反力与接触面法线夹角的最大值，称为摩擦角，显然 即摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见摩擦角与静摩擦系数一样，也是表

5、示摩擦性质的物理量。 第4章 摩 擦 图4-2 第4章 摩 擦 2.自锁 物块平衡时，因0 Ff Ffmax，则 ，即全反力与法线间的夹角在零与摩擦角m之间变化。由于静摩擦力不可能超过最大值，因此，全反力的作用线也不能超出摩擦 角以外，即全反力必在摩擦角之内。如图4-2（a）（b）中，全部主动力的合力FQ与全反力FR共线、反向、等值，故，所以 0m 0m （4-4） 式（4-4）表明，作用于物体上的全部主动力的合力FQ，不论其大小如何，只要其作用线与接触面法线的夹角小于或等于摩擦角（即FQ作用在摩擦角之内），则物体保持静止。这种现象称为自锁。 式（4-4）称为自锁条件。 第4章 摩 擦 反之，

6、当作用于物体上的全部主动力的合力FQ的作用线位于摩擦角之外时，则无论此合力多么小，都不能有与其共线 的全反力，因而物体必定滑动，如图4-2（c）。自锁现象在工程实际中有很重要的作用，如人工用螺旋千斤顶顶起重物，也是借用自锁原理，以致使重物不致因重 力作用而下落，如图4-3所示；楔块与尖劈也是利用了自锁原理的一种机械机构，如图4-4所示，用较小的力将楔块楔入夹具中加紧工件，在外力除去后，无论工件在加工过程中有多大（图示铅垂方向上）的力作用在楔块上，楔块都不会被挤 压出来。如图，以上两机构的自锁条件为： 第4章 摩 擦 图4-3 第4章 摩 擦 图4-4 第4章 摩 擦 考虑摩擦时物体的平衡问题，

7、其解题方法、步骤与不考虑摩擦时基本相同，所不同的是： (1) 在受力图上必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，其方向要正确画出，不能随意假定； (2) 摩擦力是一个未知量。解题时，除列出平衡方程外， 还需要列出补充方程FffsFN。补充方程的数目与摩擦力的数目相同。不过，由于Ff是一个范围值，故问题的解答也应是一个范围值，称为平衡范围。在临界状态时，补充方程取等式 ， 所得之解也一定是平衡范围的一个临界值。 4.2 考虑摩擦时物体的平衡第4章 摩 擦 一般考虑有摩擦时的平衡问题可分为下述三种类型: (1) 已知作用于物体上的主动力，需判断物体是否处于平衡状态，并计算所受的摩擦力

8、。 (2) 已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大小或物体平衡时的位置（距离或角度）。 (3) 求物体的平衡范围。由于静摩擦力的值可以随主动力变化而变化，因此物体平衡时，主动力的大小或平衡位置允许在一定范围内变化。 第4章 摩 擦 例4-1 一物块放在倾角为的斜面上，如图4-5所示。 物块与斜面间的摩擦系数为fs，试分析物块在重力Q作用下不沿斜面下滑的条件。 解 使物块下滑的力为Qsin，而阻止其下滑的最大力为 最大静摩擦力Ff max，由摩擦定律可知 由平衡条件可知： 第4章 摩 擦 F力的最大值为Ff max，由以上条件得出： 要使物块不下滑，必须有 F Ffmax，即 第4章 摩 擦

9、 解得 因为 所以 即斜面的自锁条件为： 斜面的倾角必须小于或等于摩擦角。 第4章 摩 擦 图4-5第4章 摩 擦 例4-2 如图4-6（a）所示的匀质木梯AB长为2a，重为G， 其一端放在地面上，另一端放在铅垂墙面上，接触面间的摩擦 角为m。求木梯平衡时倾角的范围。 图4-6 第4章 摩 擦 解 取匀质木梯AB为研究对象，分析梯子的临界平衡状态， 此时梯子A处有向右滑动的趋势，B处有向下滑动的趋势，故A、 B处的静摩擦力的方向如图4-6（b）所示。 列平衡方程及静摩擦力的补充方程： 第4章 摩 擦 联立上述方程，解得 经判断可得，梯子平衡时倾角的范围为 第4章 摩 擦 例4-3 制动器的构造

10、如图4-7（a）所示，已知重物重W=500N，制动轮与制动块间的静摩擦系数fs=0.6。R=250 mm，r=150 mm，a=1000 mm，b=300 mm，h=100 mm，求制动鼓轮转动所需的最小力F。 第4章 摩 擦 图4-7 第4章 摩 擦 解 取鼓轮为研究对象，画受力图如图4-7（b）所示。 列平衡方程： 再取杆AB（包括制动块）为研究对象，画受力图如图5-11（c）所示。列平衡方程 第4章 摩 擦 注意，FN=FN，Fs=Fs, 并考虑平衡的临界状态，由静摩 擦定律有 联立解、 、 式得 F=120 N 这是临界状态时所需力的值，也就是制动鼓轮所需的最小力 的值。 第4章 摩

11、擦 4.3. 滚动摩擦简介利用滚动代替滑动省力，这是人们早已知道的事实。搬运 重物时， 若在重物底下垫滚轴，则要比将重物直接放在地面上 推动省力，如图4-8（a）所示。在工程实际中，车辆采用车轮 ，机器采用滚动轴承，也是为了减轻劳动强度， 提高劳动效率 ，如图4-8（b）所示。 在水平面上有一轮子重为G，半径为r，如图4-9（a）所示 ，当轮子中心受一水平拉力FT作用，若FT力不大时，轮子仍保 持静止，此时轮与地面接触处都发生变形。轮与地面接触处受 力分布作用如图4-9（b）所示。将这些力向轮子的最低点A简 化，得一力(将此力分解为沿接触面的切向分力Ff和法向分力 FN)和一力偶Mf，如图4-

12、9（c）所示，这一阻碍轮子滚动的约束 力偶称为滚动摩擦力偶。滚动摩擦力偶的转向与轮子的滚动趋 势相反。 第4章 摩 擦 图4-8 第4章 摩 擦 图4-9 第4章 摩 擦 与静滑动摩擦力的性质相似，滚动摩擦力偶矩随主动力的 变化而变化，当主动力偶（FT、Ff）的力偶矩增大到一定值时，轮子处于将要滚动的临界平衡状态，滚动摩擦力偶矩Mf达到最大值Mfmax。由此可见，滚动摩擦力偶矩的大小在零到最大值之间，即 0Mf Mfmax 库仑根据大量实验与观察, 得出如下结论：（1） 最大滚动摩擦力偶矩与滚子半径大小无关；（2） 最大滚动摩擦力偶矩与滚子和支承面之间的正压力 （法向反力）成正比，即 （4-5

13、） 第4章 摩 擦 式（4-5）就是库仑滚动摩擦定律。式中称为滚动摩擦系数，简称滚阻系数，是一个具有长度量纲的系数，单位一般用 mm。根据力的平移定理，可把法向正压力FN和滚阻力偶矩Mfmax合成一个力FN,而滚阻系数就是这个力的作用线到滚子中心线的距离，如图4-9（d）所示，即 滚动摩擦系数由实验测定，它与滚子和支承面的材料硬度、 湿度等因素有关。 表4-2为常用材料的滚动摩擦系数。 第4章 摩 擦 表4-2 常用材料的滚动摩擦系数 第4章 摩 擦 4-1 摩擦力是否一定是阻力？4-2 试分析在平直的路面上正常行驶的汽车(如图所示)， 其前、 后轮的摩擦力方向及作用（后轮驱动）。 思考题4-

14、2图 第4章 摩 擦 4-3 物块重为W，放置在粗糙的水平面上，接触处的摩擦系数为fs，如图所示。要使物块沿水平面向右移动，图(a)、 (b)两种施力方式，哪种比较省力。 思考题4-3图 第4章 摩 擦 4-4 如图所示，重为G的物块受力F作用，力F的作用线在摩擦角之外，已知=25，摩擦角m=20，问物块动不动？ 为什么？ 思考题4-4图 第4章 摩 擦 4-5 如图所示为一重W100N的物块，在F=400N的作用下处于平衡，物块与墙壁间的静摩擦系数fs=0.3，求它与墙之间的摩擦力Ff。 若物块与墙壁之间的摩擦系数fs =0.2， fs =0.15时， 问在此情况下物块与墙壁之间的摩擦力Ff

15、有多大？ 思考题4-5图 第4章 摩 擦 4-6 求解有摩擦的平衡问题时，哪一类摩擦力的方向可以假设，哪一类问题不能假设，而必须正确判断其方向，为什么？4-7 如图所示，试比较两种同样材料，在相同表面粗糙度和相同带压力F的作用下，平带与型带的最大静摩擦力哪个 大？ 第4章 摩 擦 思考题4-7图 第4章 摩 擦 4-1 如题4-1图所示的铁板B重量为kN，其上压一重量为0.5kN的物体A，物体A上用一水平绳系住，已知铁板B与水平地面的摩擦因数为0.2，物体A与铁板B之间的静摩擦因数为0.25，试求抽出铁板所需最小拉力Fmin的大小 题4-1图 习 题 第4章 摩 擦 4-2 A、B两物体安置如题4-2图所示，已知GA=150N，GB=450N，各物体之间的摩擦因数均为fs，试求使物体系统保持静止所需摩擦因数fs的最小值，并求此时绳子的拉力FT。 题4-2图 第4章 摩 擦 4-3 砖夹宽28cm，爪AHB和BCED在B点铰接，尺寸如题4-3图所示。被提砖的重量为W，提举力F作用在砖夹中心线上，已知砖夹与砖之间的摩擦因数为fs=0.5，问尺寸b应多少时才能保证砖不致下滑？ 题4-3图 第4章 摩 擦 4-4 设一抽屉的尺寸如题4-