样本及其抽样分布

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1、概率论与数理统计 -考研春季基础班主讲：朱祥和第6.16.2节 数理统计学中的基本概念数理统计的任务: 观察现象,收集资料,创 建方法,分析推断。统计推断: 伴随着一定概率的推测。其特点 是:由“部分”推断“整体”。总体:研究对象的全体(整体)。个体:每一个研究对象。实际上是对总体的 一次观察。有限总体无限总体第六章 随机样本及抽样分布样本: 由部分个体构成的集合。经常说,来 自(或取自 )某总体的样本。 样本具有二重性: 在抽样前,它是随机向量, 在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。 样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样 特别,样本容量总体数量时, 无放回抽样可 近似看作有

2、放回抽样.简单随机样本(s.r.s): 具有两个特点的样本: 代表 性(组成样本的每个个体与总体同分布), 独立性 (组 成样本的个体间相互独立)。 样本容量: 样本中所含个体的个数。如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则 总体:这批灯泡(有限总体)个体:这批灯泡中的每一只 样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量:100样本观测值: x1,x2,x100定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一 组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为 来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量; 在依次观测中,样本的具体观测值x

3、1,x2,xn称为样本值XX1,X2,X100100样本值注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量 .总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论统计的一般步骤:推断总体性质统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考 虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“ 不含未知参数的样本的函数”称为统计量。是来自总体例6.2.1 设未知,则( )不是统计量。的s.r.s,其中已知,统计量定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本 ,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样 本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn) 为统计量. 统计量的分布称为抽

4、样分布. 样本均值常用统计量: 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩第6.3节 抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X2,Xn是来自总体N(,2)的样本，是样本均值，则有注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有分布及其性质 1.定义: 称 n 个相互独立同标准正态分布的随机变量 的平方和X的分布为自由度为n的 分布,记作(2 ) X1,X2,Xk独立,Xi (ni),(i=1,2,k),则2.性质: (1) X 1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则 (3) X1,X2,Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则 二 、（4）例6.3.2 设 是来

5、自总体 的s.r.s,则 服从( )分布。例6.3.3 设 是取自总体 N (0,4) 的s.r.s,当a= , b= 时, 解(1)服从(2)由题意得a =1/20b=1/1003. 的密度曲线Xf(x) n=1 n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.五、t 分布及其性质1.定义 设随机变量 ,随机变量 ,Y 且 它们互相独立,则称随机变量的分布为自由度是 n 的t 分布,记作特点: 关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大 ,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.2.t分布的密度曲线:Xf(x)3、t分布的性质（1）（2）（3） h(t)的图形关于Y轴对称例6.3.6 设随机变量

6、 X 和 Y 相 互独立且都服从正态分布 ,而 和 分别是来自总体 X 和 Y 的 s.r.s,则 统计量 服从( )分布,参数为( ).t9解:故与 独立,所以 六、F 分布及其性质1.定义 设随机变量 随机变量 且它们相互独立,则称随机变量 的分布为自由度是 的 F 分布。记作2.F分布的概率密度曲线3.性质:七、抽样分布基本定理 1、设 是来自总体 的 s.r.s,表示样本均值，则 2、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为3、定理6.3.3设X1，X2,Xn是来自总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有注：由可得4、定理6.3.4设X1，X2,Xn是来自总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有例6.3.8 设 是来自总体的s.r.s, 是样本均值,记则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量 是( )注:若记则有