数学建模5数理统计

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1、数理统计建模直方图 直方图：频率直方图和累积频率直方图直方图是用横坐 标标注质量特性 值，纵坐标标注 频数或频率值， 各组的频数或频 率的大小用直方 柱的高度表示的 图形直方图 在质量管理中，如何预测并监控产品质量状 况?如何对质量波动进行分析?直方图就是一目 了然地把这些问题图表化处理的工具。它通过 对收集到的貌似无序的数据进行处理，来反映 产品质量的分布情况，判断和预测产品质量及 不合格率。直方图绘制方法 直方图绘制6步法 集中和记录数据，求出其最大值和最小值。 （数据的数量应在100个以上，在数量不多的情 况下，至少也应在50个以上） 将数据分成若干组，并做好记号。（分组的 数量在620

2、之间较为适宜） 计算组距的宽度。用组数去除最大值和最小 值之差，求出组距的宽度。 直方图绘制方法 计算各组的界限位。各组的界限位可以从第 一组开始依次计算。 统计各组数据出现频数，作频数分布表。 作直方图。以组距为底长，以频数为高，作 各组的矩形图。 四种抽样方法 收集数据又叫抽样，抽样有下列四种： 简单随机抽样：简单随机抽样是一种一步抽 样法，它要求在调查总体N中不加任何分组、划 类、排队等，完全随机抽取n个调查单位作为样 本。 等距抽样：等距抽样又称机械抽样或系统抽 样。它是先将总体中各单位按一定的标志排队 ，然后每隔一定的距离抽取一个单位构成样本 。四种抽样方法 分层随机抽样：分层随机抽

3、样又称为类型随 机抽样、分类随机抽样。它是按照某一标志， 先将总体分成若干组（类），其中每一组(类)称 为一层，再在层内按简单随机抽样方法进行抽 样。 整群随机抽样：整群随机抽样是先将总体按 某一标志分成若干组，其中每个组称为一个群 ，以群为单位进行简单随机抽样，然后对抽到 的每个单位都进行调查。样本均值和方差常见抽样分布统计推断方法 例题1：从一个池塘里捞出1000尾鱼，将其尾部标以红点，仍然放入水中。经过一段时间， 再从池中捞出1000尾鱼，其中有红点的鱼有100 尾。试估计池中有多少尾鱼？ 统计推断方法 例题1的分析：将1000尾鱼再放入水中以后，鱼的总数不变。经过一段时间，这些鱼在池中

4、应 该分布“均匀”了，而第二次捞出的鱼中，有红点 者占捞出鱼总数的100/1000=10%，所以从比例 的观点看，池中鱼的总数x应该满足10%x=1000所以x=10000，因而可以认为池中的鱼大约在万尾左右。统计推断方法 例题2：由厂方提出的一箱产品计1000件，从 中取出100件，发现其中有2件不合格品。经约 定：如果一箱的废品率超过1%，那么买方就不接受此（整）箱产品；否则买方就得接受。问 此箱产品应否接收？ 例题2的分析：按上例，从比例出发，认为此 箱产品的废品率为2/100=2%，它大于1%，因而按照约定，买方可以拒绝接收。 你觉得合理吗？统计推断方法先将上述模型一般化：（1）在上述

5、两个例题中，所考察的个体（鱼，产品 ）的全体（总体）个数都是一个有限数N。我们不 妨将所考察的个体通称为“球”，并且认为都在一个“ 袋”中。（2）在两个问题中，总体的元（个体）都分成两类 （有红点或无红点；废品或合格品）,将前者通称为 “红球”，后者通称为“黑球”，记红球个数为M统计推断方法（3）在两个问题中，都从总体中抽出若干个体（一 个样本），样本容量为n（4）在两个问题中，样本中含有红球的个数为m（5）假设从总体中抽取任意一球的可能性都相等。统计推断方法 从而上述问题可归结为如下的超几何模型： 设有一袋，袋中有N个球，其中有M个红球，N- M个黑球，假设从袋中抽取任意一球的可能性相等 。

6、现从袋中任取n个球，用X表示取出的n个球中的 红球数，则PX=m的表达式为统计推断方法 例1就是要估计N： 易见PX=m是N的函数。 一个“直观的想法”是：N应该使概率PX=m 达到最大 ！？统计推断方法池塘内的鱼数为：统计推断方法 例2就是要检验废品率： 产品检验的问题是这样提出的：产品总免不了有 废品，在买卖中，买方当然希望买进的货物中废品 尽量的少，而卖方则希望合格品都被买方接受。最 自然的办法是由买卖双方对产品逐个检验。 显然，该办法在很多时候都是不现实的！（该办 法只能适用于非破坏性的检验，而且批量小、检验 费用低的情况。在现代化生产和市场交易中，这种 情况是很少的）统计推断方法 因

7、此人们希望制定一种简便的验收方案，使买卖 双方在每批货物的交接中，尽可能都得到满足。即 对于卖方交付的每批产品，通过检验其中部分产品 ，使买方接收的废品比例和卖方被退回的合格品的 比例都在可以接受的限度内。 如何建立这种方案呢？统计推断方法 假设例题2中所检验的那箱产品的废品率为1%，则易计算得 也就是说，抽到3个以上的废品的概率（可能性 ）是很小的（1.23%）；而且还可以证明，当废品 率小于1%时，抽到3个以上的废品的可能性更小。统计推断方法 根据实践经验知道：概率很小的事件是难于发生 的。所以从卖方希望尽量将合格箱交出的观点看： 从一箱产品中抽取100个产品，抽到的废品数大于3时，就没有

8、理由交给对方；抽到的废品数小于或等 于3时，就可以认为此箱产品合格，买方应该接收。于是 按照卖方的观点应该约定：从一箱产品中抽取 100个产品，抽到废品数大于3时，卖方应该自己留 下；抽到废品数小于或等于3时，就应该认为该箱产品合格，买方应该接收；统计推断方法 这种“概率很小的事件在实践中难于发生”在数理 统计学中称为“实际推断原理”：一个事件如果发生 的概率很小（如1%或5%），那么在一次试验中，就认为它不会发生；反之，一个事件如果发生的概 率很大（如99%或95%），那么在一次试验中，就认为它必定发生。 上述做法会犯错误吧？统计推断方法 事实上，事件发生的可能性小、难于发生，并不 等于不发

9、生。所以存在这样的情况：抽到的废品数 虽然大于3，但该箱的废品率不超过1%. 此时,虽然此箱产品合格，但是按照约定，还得作为不合格处 理而招致损失。于是卖方损失的可能性达到1.23%. 在统计学中称为犯第一类错误的概率（弃真概率）统计推断方法 以上只是从卖方角度考虑问题，我们现在从买方 角度分析：卖方交出产品只是根据假设所检验的箱 合格做出的断言，该箱产品完全可能不合格。买方 当然十分关心接收不合格的箱的概率有多大？这个 概率在统计学中称为犯第二类错误的概率（纳伪概 率），买方总是希望纳伪的概率尽可能小。统计推断方法 按照超几何分布，此例的纳伪概率应该是：在废 品率超过1%，即M10001%=

10、10的条件下，概率M111320304050P0.98210.81780.58850.22980.03820.0108 由上可以看出：在样本容量100，废品率超过规定1% 而小于或等于3%时，纳伪概率很大。这种情况使得卖方认为买方应该接受的产品，而买方却不能接受。统计推断方法 但从买方观点看，他也可以规定一个能接受的“ 最坏”（即使得产品质量达到他可以接受的最低程度 ）的废品率，而使纳伪概率较小。人们称为“最坏” 的废品率为极限质量，通常记为p1，而将原来双方 约定的废品率称为合格质量，记为p0. 从上面计算结 果可知：如果极限质量规定为4%，那么纳伪概率不 超过3.8%. 如果极限质量规定为

11、5%，那么纳伪概率 不超过1%.M111320304050P0.98210.81780.58850.22980.03820.0108统计推断方法 以上的讨论可以总结如下：设想交的每批产品数 （也称产品批量）为N，产品的抽样检验方案就是 ：规定每批产品抽检的产品数n和其中允许废品数 的上限（也称合格品判定数）c. 如果抽出的n件产品 中的废品数X小于或等于c，这批产品就由买方整个 接收，如果X大于c，买方就拒收这批产品。统计推断方法（1）从卖方的观点看，“理想”的方案是：确定一个 数p0(0,1) （称为合格质量），如果一批产品中的 废品数MNp0时，就认为这批产品合格。对卖方来 说，方案的要求

12、是：给出较小的正数（即弃真概 率，通常取1%或5%），使得n、c满足统计推断方法（2）从买方观点看，确定一个数p1（p0）（称为 极限质量），如果一批产品中的废品数MNp1时，就认为这批产品不合格而加以拒绝。对买方来说， 方案的要求是：对给出较小的正数（即纳伪概率， 通常取1%或5% ），使得n、c满足统计推断方法 又可以证明：PXc 随废品数M的上升而下降。再由实际情况，不妨设Np0、Np1都是整数。所以 满足上面两式的n、c就是满足 这组不等式通常不能直接求解，只能试解。或用 近似分布求解。统计推断方法 总结其中的统计思想 直接的总结是：超几何分布的第一个应用是：球 的总数未知，红球数已知

13、，要通过抽取（观察）部 分球（样本）的情况来估计总数；第二个应用是： 球的总数知道，抽取（观察）一部分球（样本）， 希望通过清点这一部分球中的红球数，来探讨全体 球中有多少红球。归纳起来，就是希望运用数学方 法，通过样本的数据来判断总体的某些性质这就是统计学研究的对象！统计推断方法 上升到理论高度总结是：两例显示数理统计 的两个重要研究内容：参数估计和假设检验 由于统计学是由对象的部分现象来推断全体 的现象，因此它的推断是归纳性的，它对所研 究的对象的结论不是决定性的，带有一定的随 机（偶然）性，而且还有犯错误的可能。但是 由于结论是用数学的方法概率论来表达的，因此又是决定性的！统计推断方法

14、另外，题目中也涉及到统计学的抽样和抽样 分布问题，很容易看出两个例题的抽样都不是 简单随机抽样（数理统计的研究都需要简单随 机抽样，这样数学处理才方便！），但都是实 际当中最易于采取的抽样，如何处理好二者的 关系还是相当必要的！区间估计 不仅需要给出参数的一个数值估计，往 往需要给出估计的误差 例如：铁院男生身高XN(,2) ,随机测 量16人的身高得 又如：食堂某师师傅的打饭饭量XN(,2) , 随机测测量9次打饭饭量 区间估计 南方成年男子身高XN(1,2) ,随机测 量4人的身高：167，170，175，188；北 方成年男子身高YN(2,2) ,随机测量4人 的身高：168，176，1

15、76，173,两样本独立 。问南北方成年男子平均身高有无差别？ 假设检验 例： 某车间用一台包装机包装葡萄糖， 包得的袋装糖的重量XN(,0.0152)，当 机器工作正常时0.5公斤。某日开工后 为检验包装机是否正常，随机地抽取9袋 包装好的糖，称得净重为（公斤）：0.497 ，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511， 0.520，0.515，0.512，问机器是否工作正 常？假设检验 例： 设各届学生概率统计成绩服从正态分布 ，为比较04届本科学生的概率统计平均成绩是 否较03届有所提高，分别从两届学生试卷中独 立随机抽取10份 03届：78 72 76 74 77 78

16、 76 75 76 77 04届：71 81 77 79 80 79 79 77 77 82 问：04届本科学生的概率统计平均成绩是否 较03届没有所提高 假设检验 假设检验的统计思想和方法 1.假设检验的含义：在总体分布函数完 全未知或只知其形式不知其参数的情况下 提出某些关于总体的假设，根据样本对所 提出的假设做出判断是接受还是拒绝。 2.基本思想：小概率事件原理假设检验 步骤： （1）提出原假设H0和备选假设H1 （2）确定检验统计量 （3）对显著性水平确定拒绝域 （4）抽样检验假设检验两类错误 弃真错误: H0为真拒绝H0 纳伪错误: H0为假接受H0我们这里的假设检验只控制了犯第一 类错误的概率，未控制犯第二类错误的概 率 假设检验 分布拟合:在很多场合