回归分析课件

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用高二数学 选修2-3复习回顾：相关关系的强弱-线性相关系数(2) r为正时，表明变量x与y正相关;r为负时，表明变量x与y负相关。（3）r的绝对值越大，x与y的相关性越强。比数学3中“回归”增加的内容数学统计画散点图了解最小二乘法的 思想求回归直线方程 ybxa用回归直线方程解 决应用问题选修2-3统计案例引入线性回归模型 ybxae了解模型中随机误差项e产生 的原因了解相关指数 R2 和模型拟合 的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非 线性回归问题正确理解分析方法与结果例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示

2、。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量2.回归方程：1. 散点图；本例中, r=0.7980.75这表明体重与身高有很强的线性相关关 系，从而也表明我们建立的回归

3、模型是有意义的。探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗 ？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女

4、大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在 某一条直线的附近，而不是在一条 直线上，所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， (3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差 越小，通过 回归直线 (5)预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值 y

5、之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 为截距和斜率的估计值， 它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。思考: 产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只 是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生 长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合 效果越好。函数模型与回归模型之间的差别 函数模型： 回归模型：线性回归模型y=bx+a+e增

6、加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678 身高/cm16516515717017516515517

7、0 体重/kg4857505464614359 残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后

8、再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.2 4.62.6-0.4-2.4-4.4一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。 （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则 选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残 差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或 模型是否合适等。