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1、 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则1时, 有一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .2说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，( P56 题 4 (2) )解答见课件第二节 例5类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 3定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小
2、的乘积是无穷小 .4例1. 求解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .5二、 极限的四则运算法则则有证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若6推论: 若且则( P46 定理 5 )利用保号性定理证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令7定理 4 . 若则有提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:
3、8为无穷小(详见书P45)定理 5 . 若且 B0 , 则有证: 因有其中设 无穷小有界由极限与无穷小关系定理 , 得因此 为无穷小, 9定理6 . 若则有提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .10x = 3 时分母为 0 !例3. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证: 说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4.若11例5 . 求解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因12例6 . 求解: 分子分母同除以则“ 抓大头”原式13一般有如下结果：为非负常数 )( 如 P47 例5 )( 如 P47 例6 )( 如 P47 例
4、7 )14三、 复合函数的极限运算法则 定理7. 设且 x 满足时,又则有证: 当 时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立. 15定理7. 设且 x 满足时,又则有说明: 若定理中则类似可得16例7. 求解: 令, 仿照例4 原式 =( 见P34 例5 )例417例8 . 求解: 方法 1则令 原式方法 218内容小结1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th719思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解:原式2.问203. 求解法 1 原式 =解法 2 令则原式 =214. 试确定常数 a 使解 : 令则故因此22作业P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14)2 (1)，(3)3 (1)523备用题 设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故24第二节例5. 证明证: 利用夹逼准则 .且由25
